Regresión Lineal — Modelos Linealizables

Ajusta tu dataset (x, y) por mínimos cuadrados: lineal, exponencial, logarítmica o potencial — con R², RMSE y ecuación renderizada en LaTeX.

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Ecuación ajustadan = 6

y = 1.986\,x + 0.1

Pendiente (a)

1.986

Intersección (b)

0.1

Coeficiente R²

0.9993

ajuste

Error RMSE

0.09258

unidades de y

Fundamentos y Explicación

Método de mínimos cuadrados

La regresión lineal es el método más usado para describir la relación entre dos variables numéricas, asumiendo que y depende de x de forma proporcional. El ajuste busca la recta que mejor representa la tendencia, reduciendo al máximo posible el error cuadrático acumulado de todos los puntos.

Modelo General

\hat{y}_i = a\,x_i + b

Minimización de Residuos

\min_{a,b}\;\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i - a\,x_i - b\bigr)^2

Buscamos los estimadores a y b que hacen que las distancias verticales (residuos) entre cada dato observado y la curva se reduzcan a su mínima expresión.

Coeficientes Analíticos

Dado que la regresión (u Ordinary Least Squares) es un problema cuadrático estricto, cuenta con una solución analítica cerrada; es decir, no requiere de una aproximación iterativa para llegar a los coeficientes:

Pendiente (a)

a = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}

Ordenada (b)

b = \bar{y} - a\,\bar{x}

Familia de modelos linealizables

Aunque nacieron como métodos de una línea recta, es posible adaptar familias de curvas (como la de crecimiento exponencial, decaimiento o saturación logarítmica) para que se resuelvan como un plano de regresión clásica. Se logra introduciendo logaritmos en el eje independiente, en el dependiente, o en ambos.

\text{Exponencial: } y = a\,e^{b x} \;\Rightarrow\; \ln y = \ln a + b\,x

\text{Logarítmica: } y = a + b\,\ln x

\text{Potencial: } y = a\,x^{b} \;\Rightarrow\; \ln y = \ln a + b\,\ln x

Consideración de error distorsionado: Al despejar usando logaritmos, convertimos un ajuste de curva en mínimos cuadrados tradicionales sobre variables transformadas. La limitación aquí es que la estructura del error orgánico se deforma; estadísticamente le da un peso distinto a los valores atípicos que el que le corresponde en la escala lineal natural.

Interpretación de Ajuste

Todo modelo cuenta con herramientas para validar qué tan cerca los números sintéticos describen el caso natural: el R-Cuadrado ( $R^2$ ) y la Raíz del Error Cuadrático Medio ( $\text{RMSE}$ ).

R^2 = 1 - \dfrac{\sum (y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum (y_i - \bar{y})^2}

\text{RMSE} = \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum (y_i - \hat{y}_i)^2}

$R^2 \approx 1$ indica que el modelo explica casi toda la variabilidad de tus datos; en cambio, un R² cercano a 0 te advertirá matemáticamente sobre la incapacidad del algoritmo para predecir sobre esa nube de puntos.

Por el otro lado, $\text{RMSE}$ rescata la idea midiendo en "las mismas unidades de y". Así el evaluador tiene un entendimiento humano físico del error promedio natural.

Referencias y Recursos

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