Regresión Lineal — Modelos Linealizables

Ajusta tu dataset (x, y) por mínimos cuadrados: lineal, exponencial, logarítmica o potencial — con R², RMSE y ecuación renderizada en LaTeX.

6 / 7

Tip: pegá datos desde Excel o arrastrá un .csv

Inferencia del ajuste

p-valor (pendiente)2.08e-7significativa (5%)

IC 95% pendiente[1.91, 2.061]

IC 95% intercepto[-0.1931, 0.3931]

Ecuación ajustada

n = 6

y = 1.986\,x + 0.1

Pendiente (a)

1.986

Intersección (b)

0.1

Coeficiente R²

0.9993

ajuste

Error RMSE

0.09258

unidades de y

Fundamentos y Explicación

Método de mínimos cuadrados

La regresión lineal es el método más usado para describir la relación entre dos variables numéricas, asumiendo que y depende de x de forma proporcional. El ajuste busca la recta que mejor representa la tendencia, reduciendo al máximo posible el error cuadrático acumulado de todos los puntos.

Modelo General

\hat{y}_i = a\,x_i + b

Minimización de Residuos

\min_{a,b}\;\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i - a\,x_i - b\bigr)^2

Buscamos los estimadores a y b que hacen que las distancias verticales (residuos) entre cada dato observado y la curva se reduzcan a su mínima expresión.

Coeficientes Analíticos

Dado que la regresión (u Ordinary Least Squares) es un problema cuadrático estricto, cuenta con una solución analítica cerrada calculada a partir de las medias y varianzas de la estadística descriptiva; es decir, no requiere de una aproximación iterativa para llegar a los coeficientes:

Pendiente (a)

a = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}

Ordenada (b)

b = \bar{y} - a\,\bar{x}

Familia de modelos linealizables

Aunque nacieron como métodos de una línea recta, es posible adaptar familias de curvas (como la de crecimiento exponencial, decaimiento o saturación logarítmica) para que se resuelvan como un plano de regresión clásica. Se logra introduciendo logaritmos en el eje independiente, en el dependiente, o en ambos.

\text{Exponencial: } y = a\,e^{b x} \;\Rightarrow\; \ln y = \ln a + b\,x

\text{Logarítmica: } y = a + b\,\ln x

\text{Potencial: } y = a\,x^{b} \;\Rightarrow\; \ln y = \ln a + b\,\ln x

Consideración de error distorsionado: Al despejar usando logaritmos, convertimos un ajuste de curva en mínimos cuadrados tradicionales sobre variables transformadas. La limitación aquí es que la estructura del error orgánico se deforma; estadísticamente le da un peso distinto a los valores atípicos que el que le corresponde en la escala lineal natural.

Interpretación de Ajuste

Todo modelo cuenta con herramientas para validar qué tan cerca los números sintéticos describen el caso natural: el R-Cuadrado ( $R^2$ ) y la Raíz del Error Cuadrático Medio ( $\text{RMSE}$ ).

R^2 = 1 - \dfrac{\sum (y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum (y_i - \bar{y})^2}

\text{RMSE} = \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum (y_i - \hat{y}_i)^2}

$R^2 \approx 1$ indica que el modelo explica casi toda la variabilidad de tus datos; en cambio, un R² cercano a 0 te advertirá matemáticamente sobre la incapacidad del algoritmo para predecir sobre esa nube de puntos.

Por el otro lado, $\text{RMSE}$ rescata la idea midiendo en "las mismas unidades de y". Así el evaluador tiene un entendimiento humano físico del error promedio natural.

Referencias y Recursos

Inferencia del ajuste

Más allá de los coeficientes, conviene preguntarse cuánta confianza merecen. El error estándar de la pendiente mide su incertidumbre; el estadístico $t$ y su p-valor contrastan la hipótesis nula de que la verdadera pendiente es cero (que no hay relación). Un p-valor chico (< 0.05) indica que la tendencia observada difícilmente se explique por azar. El intervalo de confianza del 95% acota el rango plausible de cada coeficiente.

Error estándar

\mathrm{SE}_m = \dfrac{s}{\sqrt{\sum (u_i-\bar u)^2}}

Estadístico t

t = \dfrac{m}{\mathrm{SE}_m}, \quad \mathrm{gl}=n-2

IC 95%

m \pm t_{0.975,\,n-2}\,\mathrm{SE}_m

La pestaña Residuos grafica la diferencia entre cada dato y la recta: si el ajuste es bueno, los residuos se reparten al azar alrededor de cero, sin patrón ni embudo. Los puntos que se alejan demasiado de la tendencia (residuo studentizado $|t^{*}| > 2$ ) se marcan como atípicos; conviene revisarlos, ya que pueden ser errores de medición o casos genuinamente distintos.

En qué espacio se mide. El R² y el RMSE se reportan en las variables originales (lo que ves en el gráfico). La inferencia (error estándar, p-valor, IC) se calcula en el espacio linealizado $(u, v) = (t_x(x),\, t_y(y))$ , donde mínimos cuadrados supone error constante y normal. Para los modos no lineales, entonces, la significancia y los intervalos se refieren al modelo ya transformado, no a los coeficientes en su forma original.

Modo Avanzado: linealizá tu propio modelo

Los cuatro modos anteriores son casos particulares de una misma idea: transformar uno o ambos ejes hasta que la relación se vuelva una recta, ajustar por mínimos cuadrados en ese plano transformado, y leer la pendiente $m$ y el intercepto $b$ . El modo Personalizado te deja elegir esas transformaciones libremente. Identificá la forma matemática de tu modelo en la tabla y aplicá la transformación correspondiente — el módulo no asume ningún dominio: las etiquetas de los ejes las escribís vos para documentar tu experimento.

Si tu modelo tiene la forma…	Transformá x	Transformá y	Ecuación lineal resultante
$y = a + b\,x$	identidad	identidad	$y = m\,x + b$ (= Lineal)
$y = a\,e^{b x}$	identidad	$\ln(y)$	$\ln(y) = m\,x + b$ (= Exponencial)
$y = a + b\,\ln x$	$\ln(x)$	identidad	$y = m\,\ln(x) + b$ (= Logarítmica)
$y = a\,x^{b}$	$\ln(x)$	$\ln(y)$	$\ln(y) = m\,\ln(x) + b$ (= Potencial)
$y = a\,e^{-c/x}$	$1/x$	$\ln(y)$	$\ln(y) = m\,(1/x) + b$
$1/y = a\,(1/x) + b$	$1/x$	$1/y$	$1/y = m\,(1/x) + b$
$y = a/x + b$	$1/x$	identidad	$y = m\,(1/x) + b$
$y = a + b\,\sqrt{x}$	$\sqrt{x}$	identidad	$y = m\,\sqrt{x} + b$
$y = a \cdot 10^{b x}$	identidad	$\log_{10}(y)$	$\log_{10}(y) = m\,x + b$
$y^2 = a\,x + b$	identidad	$y^2$	$y^2 = m\,x + b$

Solo linealizaciones separables. Cada eje se transforma de forma independiente (la x con una función de x, la y con una función de y). Linealizaciones donde un eje mezcla ambas variables a la vez quedan fuera de este modo y requieren regresión no lineal.

Cuidado con $y^2$ . El cuadrado no es invertible globalmente: al volver a variables originales se asume la rama positiva ( $y = \sqrt{\;\cdot\;}$ ). Igual que con los logaritmos, transformar los ejes deforma la estructura del error, ponderando distinto a los valores atípicos.

Recorte automático de dominio. Al usar transformaciones como $\ln$ o $\sqrt{\;\cdot\;}$ , el módulo ignorará automáticamente aquellos puntos que caigan fuera del dominio matemático válido (por ejemplo, $x \le 0$ ) para evitar errores.

También te puede interesar:

Estadística Descriptiva Distribuciones de Probabilidad Inferencia Estadística Analizador Matricial Simbólico