Distribuciones de Probabilidad

Elegí una distribución, fijá sus parámetros y consultá probabilidades, percentiles (valores críticos) y momentos, con su densidad/masa y acumulada.

Distribución

Media (μ)

-1010

Desvío estándar (σ)

0.110

Consulta

Valor de corte (x)

Resultado de la consulta

P(X ≤ x)

0.8413

P(X ≥ x)

0.1587

Resumen de la distribución

Media: 0
Varianza: 1
Desvío estándar: 1
Mediana: 0
Moda: 0
Asimetría: 0
Curtosis (exceso): 0

El corte equivale a un puntaje z = (x − μ)/σ = 1 (es lo que se busca en la “tabla z”).

Fundamentos y Explicación

¿Qué es una distribución de probabilidad?

Es la regla que reparte la probabilidad entre los valores que puede tomar una variable aleatoria. Existen dos familias principales:

Discreta (cuenta: 0, 1, 2…). Se describe con su función de masa (PMF) $p(k)=P(X=k)$ . Mide la probabilidad exacta de cada evento.
Continua (mide: cualquier real). Se describe con su función de densidad (PDF) $f(x)$ . Aquí $P(X=x)=0$ ; lo que tiene sentido es el área bajo la curva.

Ambas comparten la función acumulada (CDF) $F(x)=P(X\le x)$ , que crece de 0 a 1 sumando toda la masa a la izquierda. Casi toda consulta se responde usando la CDF.

Distribuciones de Modelado

Normal (Gaussiana) $\;N(\mu,\sigma)$ — La curva de campana. Modela errores y promedios; base del Teorema Central del Límite.

f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}

Binomial $\;\text{Bin}(n,p)$ — Número de éxitos en $n$ ensayos independientes con probabilidad $p$ .

P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{\,n-k}

Poisson $\;\text{Pois}(\lambda)$ — Conteo de eventos raros en un intervalo fijo, con tasa media $\lambda$ .

P(X=k)=\dfrac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}

Exponencial $\;\text{Exp}(\lambda)$ — Tiempo de espera hasta el próximo evento Poisson (misma tasa $\lambda$ ). Es sin memoria: la probabilidad de esperar otro rato no depende de lo ya esperado.

f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\ge 0

Gamma $\;\text{Gamma}(\alpha,\beta)$ — Espera hasta el $\alpha$ -ésimo evento (suma de $\alpha$ exponenciales); con forma $\alpha$ y tasa $\beta$ . Es la prior conjugada de la tasa de una Poisson/Exponencial.

f(x)=\dfrac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\,x^{\alpha-1}e^{-\beta x}

Casos particulares: $\text{Exp}(\lambda)=\text{Gamma}(1,\lambda)$ y $\chi^2_\nu=\text{Gamma}(\nu/2,\,1/2)$ .

Beta $\;\text{Beta}(\alpha,\beta)$ — Distribución de una proporción en $[0,1]$ . Es la prior conjugada de una probabilidad de éxito, base bayesiana del A/B testing.

f(x)=\dfrac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)},\quad 0\le x\le 1

Distribuciones de Muestreo

Estas distribuciones se derivan de la Normal y se usan casi exclusivamente para Inferencia Estadística (pruebas de hipótesis e intervalos de confianza). En lugar de modelar fenómenos de la naturaleza, modelan el comportamiento de estadísticos calculados a partir de muestras.

t de Student ( $\nu$ gl): Usada para inferencia sobre medias cuando la varianza poblacional es desconocida y la muestra es pequeña. Tiene "colas más pesadas" que la Normal. A medida que $\nu \to \infty$ , la t se vuelve idéntica a la Normal Estándar.
Chi-cuadrado ( $\chi^2$ , $\nu$ gl): Suma de $\nu$ normales estándar al cuadrado. Solo toma valores positivos. Usada para pruebas de bondad de ajuste, independencia y varianza.
F de Fisher-Snedecor ( $d_1, d_2$ gl): Cociente de dos variables $\chi^2$ escaladas. Usada fundamentalmente en ANOVA (Análisis de Varianza) y regresión para comparar varianzas.

¿Cómo interpretar la calculadora?

Por valor: Ingresás un límite y obtenés el área de la cola $P(X\le x)$ o $P(X\ge x)$ . En estadística, esto corresponde a calcular el p-valor.
Por intervalo: Dos límites → $P(a\le X\le b)$ o la probabilidad de caer fuera. Útil para la confianza.
Por probabilidad (cuantil): Ingresás un área (ej. $\alpha=0.05$ ) y devuelve el valor crítico en el eje horizontal. Esto es equivalente a buscar en las tablas impresas tradicionales de los libros.

Valores Críticos y Tablas

Históricamente, los valores de t, $\chi^2$ y F se buscaban en apéndices de libros. La calculadora en modo "Por probabilidad" reemplaza estas tablas.

Si estás haciendo una prueba de hipótesis al 5% de significación de una cola derecha, selecciona "Cola Derecha", ingresa $0.05$ y obtendrás el valor crítico exacto para rechazar $H_0$ .

Valores z comunes (Normal)

Nivel confianza	$z^\*$ (dos colas)
90 %	1.645
95 %	1.960
98 %	2.326
99 %	2.576

Momentos de las Distribuciones

Dist.	Media	Varianza
Modelado
Normal	μ	σ²
Binomial	np	np(1−p)
Poisson	λ	λ
Exponencial	1/λ	1/λ²
Gamma	α/β	α/β²
Beta	α/(α+β)	…
Muestreo
t Student	0	ν/(ν-2)
Chi-cuad.	ν	2ν
F Fisher	d₂/(d₂-2)	...

* Algunas varianzas y medias en t y F solo están definidas para grados de libertad grandes. En la Poisson, media y varianza coinciden.

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