Analizador Matricial Simbólico

Polinomio característico, espectro y diagonalización exacta

Matriz de Entrada

Dimensión de la Matriz

Preset

Factor Escalar Global

Símbolos

Resultados

Ingresa una matriz simbólica o numérica en el panel
y presiona Analizar para ver el desarrollo paso a paso.

Fundamentos y Explicación

Matrices y Transformaciones Lineales

Una matriz cuadrada de orden n es un arreglo de n × n números (o expresiones simbólicas) que representa una transformación lineal sobre un espacio vectorial. Cada columna de la matriz indica adónde va a parar cada vector de la base canónica.

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}, \quad A\mathbf{v} = \mathbf{w}

Rigor Analítico: Este analizador opera con álgebra simbólica exacta (motor SymPy), no con aproximaciones numéricas de punto flotante. Esto significa que los autovalores y autovectores se expresan en forma cerrada — fracciones, radicales e imaginarios incluidos — sin error de redondeo.

Determinante y Traza

El determinante resume el comportamiento volumétrico de la transformación, mientras que la traza (suma de la diagonal) es igual a la suma de los autovalores. Ambos son invariantes bajo cambio de base.

Determinante 2×2

\det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}

Traza

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i

det(A) = 0: La transformación colapsa el espacio — matriz singular, no invertible.
det(A) < 0: Invierte la orientación del espacio (como un espejo).
|det(A)|: Factor de escala del área (2D) o volumen (3D) transformado.

Polinomio Característico y Espectro

Los autovalores son los escalares λ para los cuales la transformación (A − λI) colapsa el espacio (det = 0). Se obtienen como las raíces del polinomio característico de grado n:

p(\lambda) = \det(A - \lambda I) = 0

El conjunto de todos los autovalores se llama espectro de la matriz. Por el Teorema de Cayley-Hamilton, toda matriz satisface su propio polinomio característico: p(A) = 0.

Autovectores y Multiplicidades

Un autovector v asociado al autovalor λ es un vector no nulo que la transformación solo escala — no rota:

A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \iff (A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}

Multiplicidad algebraica: número de veces que λ aparece como raíz de p(λ).
Multiplicidad geométrica: dimensión del núcleo de (A − λI) — cuántos autovectores independientes existen.
Autovalores complejos: ocurren en pares conjugados e indican una componente rotacional.
Matriz defectiva: si alguna multiplicidad geométrica es menor que la algebraica.

Diagonalización

Una matriz es diagonalizable si y solo si tiene n autovectores linealmente independientes. En ese caso existe la descomposición espectral:

A = P \cdot D \cdot P^{-1}

donde P contiene los autovectores como columnas y D es diagonal con los autovalores. Esto permite calcular potencias matriciales en tiempo lineal:

A^n = P \cdot D^n \cdot P^{-1}

Las matrices con autovalores repetidos pueden o no ser diagonalizables. Si no lo son, su forma canónica es la forma de Jordan, con bloques de Jordan en la diagonal.

Aplicaciones Reales

Google PageRank: Modela la web como una matriz estocástica gigante y calcula su autovector dominante (autovalor λ = 1).
PCA (Análisis de Componentes Principales): Descompone la matriz de covarianza; los autovectores son las direcciones de máxima varianza.
Mecánica Cuántica: Los observables son operadores hermitianos; sus autovalores son los únicos resultados posibles de una medición.
Relatividad Especial: La transformación de Lorentz es una matriz cuyo espectro contiene los factores Doppler relativistas γ(1 ± β).
Sistemas dinámicos: La estabilidad de un equilibrio se determina por el signo de la parte real de los autovalores del jacobiano.

📐 Casos Notables

Identidad: λ = 1 (×n)

Rotación 90°: λ = ±i

Simetría: λ ∈ ℝ siempre

Nilpotente: λ = 0 (×n)

⚡ Matrices de Pauli

σ₁: λ = ±1

σ₂: λ = ±1

σ₃: λ = ±1

Base del álgebra su(2)

Referencias Académicas

[1] Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra (5th ed.). Wellesley-Cambridge Press.
[2] Axler, S. (2015). Linear Algebra Done Right (3rd ed.). Springer.
[3] Horn, R. A., & Johnson, C. R. (2013). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press.
[4] Meurer, A. et al. (2017). SymPy: symbolic computing in Python. PeerJ Computer Science, 3, e103.

También te puede interesar:

Analizador de Funciones