En el triángulo rectángulo, seno y coseno son cocientes de lados, y eso sólo tiene sentido para ángulos entre 0° y 90°. El círculo de radio 1 elimina esa restricción: con el ángulo θ en posición estándar —medido desde el eje x positivo, en sentido antihorario— su lado terminal corta al círculo en un punto cuyas coordenadas son el coseno y el seno.
P=(cosθ,senθ)
Así quedan definidos para cualquier ángulo, positivo o negativo, y más allá de una vuelta. Las otras cuatro funciones no son coordenadas sino cocientes, y existen sólo donde su denominador no se anula.
tanθ=cosθsenθcotθ=senθcosθ
secθ=cosθ1cscθ=senθ1
Signos por cuadrante y ángulo de referencia
El signo de cada función depende sólo del cuadrante donde cae el lado terminal. El mnemónico ASTC (en inglés: All, Sine, Tangent, Cosine) recorre los cuadrantes I→IV: en el I todas son positivas; en el II sólo seno y cosecante; en el III sólo tangente y cotangente; en el IV sólo coseno y secante.
La magnitud, en cambio, depende sólo del ángulo de referencia: el ángulo mínimo entre el lado terminal y el eje x. Vale para las seis funciones. Por eso sen150°=+sen30°=21 y cos150°=−cos30°=−23: referencia 30°, signos del cuadrante II.
θref∈[0°,90°]
Sobre los ejes el ángulo de referencia alcanza esos extremos: vale 0° sobre el eje x y 90° sobre el eje y, de modo que no siempre es agudo. Sumar o restar vueltas enteras no cambia el lado terminal, y dos ángulos coterminales comparten el valor de cada razón allí donde está definida.
θ∼θ+360°k,k∈Z
Valores exactos notables
En los ángulos de referencia 0°, 30°, 45°, 60° y 90° las razones toman valores expresables con radicales:
Valores exactos de seno, coseno y tangente en los ángulos de referencia notables
θ
sen
cos
tan
0°
0
1
0
30°
21
23
33
45°
22
22
1
60°
23
21
3
90°
1
0
no definido
Los demás notables (120°, 135°, … 330°) salen de combinar este valor con el signo del cuadrante. Las recíprocas se obtienen invirtiendo: donde el seno vale 0 la cosecante no existe, y lo mismo para coseno y secante.
Las seis razones como segmentos
Cada razón es la longitud, con signo, de un segmento concreto del dibujo. El coseno se mide sobre el eje x y el seno en la vertical que sube hasta P. La tangente vive sobre la recta x=1, que es la tangente geométrica al círculo —de ahí el nombre—: es el tramo desde (1,0) hasta donde el lado terminal, prolongado si hace falta, corta esa recta. La cotangente hace lo mismo sobre la recta y=1.
Secante y cosecante son medidas orientadas desde el origen hasta esos mismos cortes, tomadas sobre la recta del lado terminal, no sobre el rayo: por eso existen también cuando el corte cae en la prolongación hacia atrás. Cuando el lado terminal se vuelve paralelo a una de esas rectas el corte no existe, la función se indefine y aparece una asíntota: tangente y secante en 90° y 270°; cotangente y cosecante en 0° y 180°.
De la circunferencia a la onda
Si el punto P gira a velocidad constante y se grafica su altura contra el ángulo recorrido, la circunferencia se “desenrolla” en una onda. Una vuelta completa —360° o 2π— es un período: ahí está el origen de que estas funciones sean periódicas. Tangente y cotangente se repiten cada media vuelta, no cada vuelta.
y=Af(B(x−C))+D
Con f una de las seis razones, esta forma sólo re-escala ese desenrollado: ∣A∣ estira en vertical y es la amplitud cuando la base es seno o coseno; B comprime el eje y fija el período en 2π/∣B∣ para seno, coseno, secante y cosecante, y en π/∣B∣ para tangente y cotangente; C desplaza en horizontal y D en vertical.
Cómo leer los resultados
Cuadrante
Dónde cae el lado terminal, de I a IV. Un ángulo apoyado exactamente sobre un eje no pertenece a ningún cuadrante y se informa como tal.
Ángulo de referencia
El ángulo mínimo al eje x, entre 0° y 90°.
Coterminales
El mismo ángulo escrito una vuelta antes y una después, en la unidad elegida.
No definido
La función no tiene valor ahí. No se muestra ±∞ porque el infinito describe el comportamiento al acercarse, no el valor en el punto.
Período
Longitud de un ciclo sobre el eje x, en la unidad del eje. Con A=0 la gráfica es constante y no tiene período propio.
Rango
Los valores que la función alcanza. Secante y cosecante dejan un hueco central: nunca toman valores entre D−∣A∣ y D+∣A∣.
Asíntotas y puntos excluidos
Cuántas veces la curva se interrumpe dentro de la ventana. Con A=0 la gráfica es una recta con agujeros, no con asíntotas.
Identidad pitagórica
sen2θ+cos2θ=1
Es el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo de catetos ∣cosθ∣ y ∣senθ∣ con hipotenusa 1, el radio. Donde el denominador no es cero, dividir por cos2θ o sen2θ da 1+tan2θ=sec2θ y 1+cot2θ=csc2θ.
Supuestos y límites
Un valor exacto se reconoce sólo en el ángulo notable mismo: 60,001° y 1,0472 rad están cerca de 60° y de π/3, pero no son esos ángulos.
Los cocientes sin valor se informan como “no definido”, nunca como un número enorme.
El eje x de las gráficas es un ángulo, no un tiempo; no hay segundos ni hercios involucrados.
B es adimensional. Cambiar la unidad del eje reexpresa C, el período y la ventana, pero no altera la curva.
La ventana admite hasta 40 períodos: más allá el dibujo deja de ser legible.
Quedan fuera de este alcance la resolución de ecuaciones trigonométricas, las funciones inversas, las identidades simbólicas y las ondas físicas con unidades de tiempo.