Círculo Unitario y Funciones Trigonométricas

Explora las 6 razones trigonométricas como segmentos geométricos y grafica la sinusoide general con período, frecuencia y desfase

Ángulos:

Ángulo θ

Ángulo en posición estándar: se mide desde el eje x positivo, en sentido antihorario. Admite valores negativos y mayores a una vuelta.

0360

Ángulos notables

Posición en el círculo

CuadranteI

Ángulo de referencia60°

Coterminales (±1 vuelta)-300° · 420°

Signos

sen +cos +tan +

Valores exactos · θ = 60°

\operatorname{sen}\,\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}

≈ 0.866

\operatorname{cos}\,\theta = \frac{1}{2}

≈ 0.5

\operatorname{tan}\,\theta = \sqrt{3}

≈ 1.732

\operatorname{cot}\,\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}

≈ 0.5774

\operatorname{sec}\,\theta = 2

\operatorname{csc}\,\theta = \frac{2\sqrt{3}}{3}

≈ 1.155

Resultados

sen θ

0.866

cos θ

0.5

tan θ

1.732

Funciones recíprocas

csc θ

1.155

sec θ

cot θ

0.5774

Fundamentos y Explicación

Definición en el Círculo Unitario

P = (\cos\theta,\ \operatorname{sen}\theta)

\tan\theta = \frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta} \qquad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\operatorname{sen}\theta}

\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} \qquad \csc\theta = \frac{1}{\operatorname{sen}\theta}

Identidad Pitagórica

\operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta = 1

Es el Teorema de Pitágoras aplicado al triángulo de catetos $\cos\theta$ y $\operatorname{sen}\theta$ con hipotenusa 1 (el radio). Dividiendo por $\cos^2\theta$ o $\operatorname{sen}^2\theta$ se obtienen $1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$ y $1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$ .

Ángulo de Referencia y Coterminales

\theta_{ref} \in [0°, 90°] \quad\text{(ángulo agudo al eje } x\text{)}

\theta \sim \theta + 360°k, \quad k \in \mathbb{Z}

Dos ángulos coterminales comparten lado terminal, y por lo tanto las mismas seis razones.

Valores Exactos Notables

θ	sen	cos	tan
0°	0	1	0
30°	$\tfrac{1}{2}$	$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{3}}{3}$
45°	$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$	1
60°	$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\tfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
90°	1	0	—

Los demás notables (120°, 135°, … 330°) se obtienen del ángulo de referencia más el signo del cuadrante.

1. Por qué el círculo unitario generaliza al triángulo

En el triángulo rectángulo, seno y coseno son cocientes de lados, y eso solo tiene sentido para ángulos agudos (0° a 90°). El círculo de radio 1 elimina esa restricción: colocando el ángulo $\theta$ en posición estándar, su lado terminal corta al círculo en el punto $P=(\cos\theta, \operatorname{sen}\theta)$ . Ahora las razones son coordenadas, definidas para cualquier ángulo — obtusos, negativos o de varias vueltas — y con signo propio. Esta es la definición que usan el cálculo y la física.

2. Signos por cuadrante (ASTC) y ángulo de referencia

El signo de cada función depende solo del cuadrante donde cae el lado terminal. El mnemónico ASTC (en inglés: All, Sine, Tangent, Cosine) recorre los cuadrantes I→IV: en el I todas son positivas; en el II solo seno (y cosecante); en el III solo tangente (y cotangente); en el IV solo coseno (y secante). La magnitud, en cambio, depende solo del ángulo de referencia — el ángulo agudo entre el lado terminal y el eje x. Por eso $\operatorname{sen} 150° = +\operatorname{sen} 30° = \tfrac{1}{2}$ y $\cos 150° = -\cos 30° = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ : referencia 30°, signos del cuadrante II.

3. Las seis razones como segmentos

Cada razón trigonométrica es la longitud (con signo) de un segmento concreto del diagrama: el coseno se mide sobre el eje x y el seno en la vertical que sube hasta $P$ . La tangente vive sobre la recta $x=1$ — literalmente la tangente geométrica al círculo, de ahí su nombre: es el tramo desde (1, 0) hasta donde el lado terminal (prolongado) corta esa recta. La cotangente hace lo mismo sobre la recta $y=1$ . Secante y cosecante son las distancias desde el origen hasta esos cortes, medidas a lo largo del lado terminal (secante = “la que corta”). Cuando el lado terminal se vuelve paralelo a una recta tangente, el corte no existe: la función se indefine y aparece una asíntota — tan y sec en 90° y 270°; cot y csc en 0° y 180°.

4. De la circunferencia a la onda

Si el punto $P$ gira a velocidad constante y graficamos su altura $\operatorname{sen}\theta$ contra el ángulo recorrido, la circunferencia se “desenrolla” en la sinusoide — la tira de onda bajo el diagrama muestra exactamente eso. Una vuelta completa (360° o $2\pi$ ) es un período: por eso las funciones trigonométricas son periódicas y los ángulos coterminales repiten sus valores. La forma general $y = A\operatorname{sen}(B(x-C))+D$ solo re-escala ese desenrollado: factor de estiramiento vertical $|A|$ (amplitud en sen/cos), período $2\pi/|B|$ (donde $B$ ajusta la compresión horizontal), desfase $C$ y línea media $D$ .

5. Dónde aparece esto en la ciencia

El giro uniforme proyectado en un eje es el modelo matemático de todo fenómeno oscilatorio:

Movimiento armónico simple: la posición de una masa en un resorte es la sombra de un punto que gira.
Corriente alterna: tensión y corriente son sinusoides desfasadas.
Números complejos y fasores: la fórmula de Euler $e^{i\theta}=\cos\theta + i\operatorname{sen}\theta$ es el círculo unitario en el plano complejo.
Series de Taylor: sen y cos se calculan en la práctica con sus desarrollos polinómicos.
Óptica (ley de Snell): la refracción se gobierna por cocientes de senos.

Módulo hermano y referencias

Para resolver triángulos (leyes de senos y cosenos, casos LLL–LLA) usa Trigonometría Analítica. Referencias: Stewart, Precalculus (cap. Funciones Trigonométricas); Wolfram MathWorld, Unit Circle y Trigonometric Functions; Khan Academy, Unidad: Trigonometría.

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