Oscilador Armónico Amortiguado

Resolución analítica de los cuatro regímenes · m(d²x/dt²) + c(dx/dt) + kx = 0

Parámetros de entrada

Masa

Masa del bloque (m > 0)

0.120

Constante elástica

Rigidez del resorte (k > 0)

N/m

1500

Posición inicial

Desplazamiento desde el equilibrio en t = 0 (admite negativos)

-2020

Velocidad inicial

Velocidad en t = 0 (admite negativos)

-55

Amortiguamiento

Coeficiente de amortiguamiento

Rozamiento viscoso c ≥ 0, en kg/s (= N·s/m)

kg/s

050

Velocidad

Resultados

Régimen detectado

Subamortiguado

0 < ζ < 1: oscila con amplitud que decae exponencialmente bajo la envolvente.

Frecuencia natural ω₀

6.325

rad/s

Frecuencia f₀

1.007

Período natural T₀

0.9935

Factor ζ

0.1186

Parámetros Adicionales

Amort. crítico c_c

12.65 kg/s

Energía inicial E₀

0.05 J

Establecimiento t_s

5.087 s

Frec. amortiguada ω_d

6.28 rad/s

Pseudoperíodo T_d

1.001 s

Factor de calidad Q

4.216

Decremento log. δ

0.7504

Fundamentos y Explicación

La Ecuación del Oscilador y sus Dos Parámetros Universales

Una masa m sujeta a un resorte de constante k y a una fuerza de rozamiento viscoso proporcional a la velocidad (coeficiente c) obedece la segunda ley de Newton en la forma de una ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea:

m\,\ddot{x} + c\,\dot{x} + k\,x = 0

Dividiendo por m aparece la forma canónica, donde toda la física queda capturada por solo dos parámetros: la frecuencia natural ω₀ y el factor de amortiguamiento adimensional ζ.

\ddot{x} + 2\zeta\omega_0\,\dot{x} + \omega_0^2\,x = 0,\qquad \omega_0=\sqrt{\tfrac{k}{m}},\quad \zeta=\frac{c}{2\sqrt{mk}}

El denominador de ζ es el amortiguamiento crítico c_c = 2√(mk) = 2mω₀: la frontera entre oscilar y no oscilar. Por eso ζ = c/c_c es la medida natural del amortiguamiento, independiente de las unidades.

Los Cuatro Regímenes

Las raíces de la ecuación característica r² + 2ζω₀r + ω₀² = 0, es decir r = ω₀(−ζ ± √(ζ²−1)), deciden la naturaleza de la respuesta. El signo del discriminante ζ²−1 separa los regímenes:

Régimen	Condición	x(t)
Ideal (M.A.S.)	ζ = 0	A cos(ω₀t − φ)
Subamortiguado	0 < ζ < 1	e^−ζω₀t(C₁cos ω_d t + C₂sin ω_d t)
Crítico	ζ = 1	(C₁ + C₂t) e^−ω₀t
Sobreamortiguado	ζ > 1	C₁e^r₁t + C₂e^r₂t

El caso ideal es el límite ζ → 0 del subamortiguado: con ζ = 0 se cumple ω_d = ω₀ y la envolvente exponencial vale 1, de modo que la oscilación nunca decae y la energía se conserva. Las constantes C₁, C₂ se fijan con las condiciones iniciales x₀ y v₀; en el caso subamortiguado C₁ = x₀ y C₂ = (v₀ + ζω₀x₀)/ω_d.

Frecuencia Amortiguada y Pseudoperíodo

Cuando hay oscilación (ζ < 1), el sistema no vibra a su frecuencia natural sino a la frecuencia amortiguada, siempre menor: el rozamiento "frena" el vaivén.

\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2}\,,\qquad T_d = \frac{2\pi}{\omega_d}

La amplitud queda encerrada por la envolvente ±A·e^−ζω₀t: cada pico es menor que el anterior por un factor fijo. La velocidad y la aceleración salen de derivar; en esta calculadora la aceleración se obtiene directamente de la propia ecuación, a = −2ζω₀v − ω₀²x, lo que la mantiene exacta en todos los regímenes.

Energía y Disipación

Cinética

E_k = \tfrac{1}{2} m v^2

Potencial

E_p = \tfrac{1}{2} k x^2

Total

E = E_k + E_p

Sin amortiguamiento, la energía total es constante: cinética y potencial se intercambian sin pérdida (en el retrato de fase, una elipse cerrada). Con amortiguamiento, el rozamiento disipa energía a ritmo dE/dt = −c·v² ≤ 0, siempre no positivo: la energía decrece de forma monótona hasta agotarse en el reposo.

Métricas del Subamortiguado

Tres indicadores resumen "qué tan amortiguado" está un sistema que oscila:

Q = \frac{1}{2\zeta}\qquad \delta = \frac{2\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\qquad t_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_0}

Factor de calidad Q: cuántas oscilaciones sobreviven antes de apagarse; alto Q = poco amortiguamiento.
Decremento logarítmico δ: el logaritmo del cociente entre dos picos consecutivos; la forma experimental clásica de medir ζ.
Tiempo de establecimiento t_s: cuándo la envolvente cae al 2 % (criterio estándar de control).

El Retrato de Fase

Graficar la velocidad v contra la posición x revela la dinámica de un vistazo, sin el tiempo de por medio. El sistema ideal traza una elipse cerrada (energía constante); el subamortiguado, una espiral que cae hacia el origen; el crítico y el sobreamortiguado, una curva directa al origen sin enrollarse. El origen es el atractor: el estado de reposo al que todo sistema disipativo termina llegando.

Crítico vs. Sobreamortiguado

Ambos vuelven al equilibrio sin oscilar, pero el crítico (ζ = 1) lo hace en el menor tiempo posible: es el ajuste óptimo de un amortiguador de auto o del cierre de una puerta. El sobreamortiguado (ζ > 1) posee dos constantes de tiempo (τ₁ y τ₂). La respuesta decae como una suma de dos exponenciales, pero la dinámica general es más lenta y queda dominada casi por completo por la constante de tiempo lenta τ₁ = −1/r₁; cuanto mayor el rozamiento, más perezoso el retorno. En el panel de resultados calculamos ambas para que puedas compararlas.

Límites y Supuestos del Modelo

Linealidad

El resorte cumple la ley de Hooke (F = −kx) y el rozamiento es viscoso, proporcional a la velocidad. Amplitudes grandes (resorte no lineal) o fricción seca (de Coulomb, constante) quedan fuera.

Oscilación libre

No hay fuerza externa: la ecuación es homogénea. Agregar un forzado periódico introduce resonancia y un régimen estacionario — el tema de una calculadora de oscilaciones forzadas aparte.

Parámetros constantes

m, k, c se suponen constantes en el tiempo. El mismo modelo describe circuitos RLC de segundo orden (con L↔m, 1/C↔k, R↔c), un puente directo con la electrónica.

Magnitud	Símbolo	Unidad SI
Masa	m	kilogramo (kg)
Constante elástica	k	newton/metro (N/m)
Coef. de amortiguamiento	c	kg/s (= N·s/m)
Frecuencia natural	ω₀	rad/s
Factor de amortiguamiento	ζ	adimensional
Energía	E	joule (J)

Referencias y Recursos

[1] French, A. P. Vibrations and Waves, Cap. 3–4: "Free vibrations of physical systems" y "The forced vibrations of damped systems". MIT Introductory Physics Series.
[2] Taylor, J. R. Classical Mechanics, Cap. 5: "Oscillations". University Science Books.
[3] Thornton, S. & Marion, J. Classical Dynamics of Particles and Systems (5.ª ed.), Cap. 3: "Oscillations". Brooks/Cole.

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