¿Qué es el crecimiento logístico?
Es el modelo más simple de una población que no puede crecer para siempre. Una población con recursos ilimitados crecería de forma exponencial, duplicándose una y otra vez. Pero ningún entorno real es infinito: el alimento, el espacio y el agua se agotan. El modelo logístico añade ese freno con tres ingredientes: el tamaño de la población (N), su tasa intrínseca de crecimiento (r) —lo rápido que se reproduce cuando aún es pequeña— y la capacidad de carga (K), el techo que el ambiente puede sostener.
Lo formuló el matemático belga Pierre-François Verhulst en 1838, buscando una ley del crecimiento demográfico que no disparara la población al infinito. El resultado es la característica curva en forma de S: crecimiento casi exponencial al principio, desaceleración en el medio y una meseta suave al acercarse a K.
¿Por qué se frena? La capacidad de carga
El corazón del modelo es el factor de freno (1 − N/K). Cuando la población es pequeña frente a K, ese factor vale casi 1 y el crecimiento es prácticamente exponencial; cuando N se acerca a K, el factor tiende a 0 y el crecimiento se detiene. La ecuación diferencial que lo describe es:
A diferencia de otros modelos poblacionales, esta ecuación tiene una solución exacta en función del tiempo, de modo que la curva puede calcularse directamente, sin integración numérica ni error acumulado:
El sistema tiene dos equilibrios: la extinción en N = 0 (inestable) y la capacidad de carga en N = K (estable). Cualquier población que arranque con N₀ > 0 termina convergiendo a K —creciendo si empezó por debajo, decreciendo si empezó por encima.
La curva en S y su punto de inflexión
El rasgo más útil de la curva logística es su punto de inflexión: el momento en que el crecimiento pasa de acelerar a frenar. Ocurre exactamente cuando la población alcanza la mitad de la capacidad de carga, N = K/2, en el instante:
En ese punto la población crece a su velocidad máxima, cuyo valor es sorprendentemente sencillo:
Esta cantidad se conoce en manejo de recursos como rendimiento máximo sostenible (MSY, por sus siglas en inglés): la tasa a la que se podría cosechar una población —peces, madera, caza— manteniéndola justo en la mitad de su capacidad, donde repone individuos lo más rápido posible. Solo existe punto de inflexión si la población arranca por debajo de K/2; si empieza más arriba, ya nace en la fase de desaceleración y la curva es cóncava desde el inicio.
Un caso real: los cultivos de Gause
El ejemplo empírico clásico proviene del ecólogo Georgii Gause, que en The Struggle for Existence (1934) cultivó el protozoo Paramecium en tubos con un aporte constante de bacterias como alimento. Al contar los individuos día a día, sus poblaciones trazaban una curva logística casi de manual: un arranque exponencial, una desaceleración y una meseta estable en la que la densidad ya no aumentaba —la capacidad de carga impuesta por el alimento disponible.
Estos experimentos convirtieron una idea matemática de un siglo antes en un fenómeno medible en el laboratorio, y son la razón por la que el modelo logístico es hoy la puerta de entrada a la ecología de poblaciones. Presentamos el caso de forma cualitativa: el valor de K depende de cada montaje experimental y no debe leerse como una constante universal.