¿Qué es el modelo de Lotka-Volterra?
Es la descripción matemática más simple de la relación entre un depredador y su presa. Imagina un ecosistema con solo dos especies: una presa que dispone de alimento siempre abundante (por ejemplo, liebres y pasto) y un depredador que se alimenta exclusivamente de esa presa (por ejemplo, linces). El modelo sigue cómo cambian ambas poblaciones —la de presas (x) y la de depredadores (y)— a lo largo del tiempo.
Fue propuesto de forma independiente por Alfred Lotka (1925), estudiando reacciones químicas autocatalíticas, y por Vito Volterra (1926), que buscaba explicar por qué las capturas de peces depredadores en el Adriático habían aumentado durante la Primera Guerra Mundial. Su resultado más llamativo es que las dos poblaciones no se estabilizan: oscilan en un ciclo perpetuo, cada una persiguiendo a la otra.
¿Cómo se genera el ciclo?
La velocidad a la que cambia cada población depende de cuatro tasas. Las presas se reproducen a una tasa α y mueren al ser cazadas; los depredadores se multiplican al consumir presas (con eficiencia δ) y mueren de forma natural a una tasa γ:
El término β·x·y es la clave: representa los encuentros entre presas y depredadores, proporcionales a cuántos hay de cada uno. Con estas reglas, el sistema entra en un bucle de retroalimentación que se repite eternamente:
- 1.Con muchas presas y pocos depredadores, las presas se multiplican.
- 2.El alimento abundante hace crecer a los depredadores.
- 3.El exceso de depredadores hace colapsar a las presas.
- 4.Sin presas que cazar, los depredadores mueren de hambre.
- 5.Con pocos depredadores, las presas vuelven a crecer… y el ciclo recomienza.
Un caso real: el lince y la liebre
El ejemplo empírico clásico son el lince canadiense (Lynx canadensis) y la liebre americana (Lepus americanus). La Hudson’s Bay Company registró durante casi un siglo (≈1845–1935) el número de pieles comercializadas de ambas especies, y esos datos revelan oscilaciones sostenidas con un ciclo de aproximadamente 9 a 10 años, en el que los picos del lince llegan siempre uno o dos años después que los de la liebre — justo el desfase depredador-presa que predice el modelo.
Con una salvedad importante: los estudios de campo modernos muestran que el ciclo de la liebre no se explica solo por la depredación, sino también por su alimento y la vegetación disponible. El lince, más que impulsar el ciclo, en buena medida lo sigue. Por eso el par lince-liebre es una ilustración excelente de las oscilaciones, pero no un sistema Lotka-Volterra puro.
Datos de pieles: Elton, C. & Nicholson, M. (1942), The ten-year cycle in numbers of the lynx in Canada, Journal of Animal Ecology 11(2), 215–244.
Equilibrio y período
Existe un único punto en el que ambas poblaciones podrían mantenerse constantes —el equilibrio de coexistencia, donde las dos derivadas se anulan:
(También existe el equilibrio trivial en (0, 0): la extinción total.) El sistema nunca se detiene en este punto, pero gira a su alrededor. El tiempo que tarda en completar una vuelta —el período— se aproxima, para oscilaciones pequeñas cercanas al equilibrio, por:
Esta fórmula es exacta solo en el límite de oscilaciones diminutas. Cuanto más amplia es la órbita, más se aparta el período real de esta estimación (siempre hacia arriba); por eso la calculadora reporta además un período numérico, medido directamente sobre la simulación.
Como el sistema no lineal no tiene solución analítica en función del tiempo, la trayectoria se calcula por integración numérica (método de Runge-Kutta de 4º orden), que reproduce la órbita cerrada sin acumular deriva —algo que métodos más simples, como Euler, no logran sostener.