Conversión de presas capturadas en nuevos depredadores
0.01
0.0010.05
Resultados
Presas en Equilibrio
30
Depredadores en Equilibrio
5
Período Linealizado
36.28
Período Numérico
37.69
Desfase Depredador-Presa
6.965
Máx. Presas46.89
Máx. Depredadores10.41
Mín. Presas17.75
Mín. Depredadores1.895
Poblaciones vs. Tiempo
dx/dt = α·x − β·x·y | dy/dt = δ·x·y − γ·y
Fundamentos y Explicación
Dinámica de Presas
dtdx=αx−βxy
Tasa de cambio de las presas (x). α es el crecimiento intrínseco (reproducción sin amenazas), y el término βxy modela la mortalidad proporcional a los encuentros con depredadores (β es la tasa de depredación).
Dinámica de Depredadores
dtdy=δxy−γy
Tasa de cambio de depredadores (y). δ es la eficiencia con la que la biomasa de presas cazadas se convierte en nuevos depredadores. γ es la tasa de mortalidad natural de los depredadores (inanición en ausencia de presas).
Puntos de Equilibrio
(x∗,y∗)=(δγ,βα)
Estado estacionario no trivial donde ambas derivadas son cero. Representa el balance perfecto del ecosistema. Existe otro equilibrio trivial en (0,0) (extinción total).
Período Linealizado
T≈αγ2π
Aproximación del tiempo que tarda en completarse un ciclo biológico. Es válido solo matemáticamente para oscilaciones diminutas cerca del equilibrio. Para órbitas amplias, el sistema es no lineal y el período real diverge significativamente.
1. El Espacio de Fases y la Órbita Cerrada
Una propiedad matemática fundamental de las ecuaciones originales de Lotka-Volterra es que son un sistema conservativo (poseen una constante de movimiento).
▸Ciclo perpetuo: Sin importar las condiciones iniciales (siempre que x,y>0), las poblaciones trazarán una órbita cerrada en el gráfico x vs y. Nunca alcanzarán el equilibrio ni se extinguirán matemáticamente.
▸Desfase natural: Las poblaciones están en cuadratura de fase. El pico máximo de depredadores siempre ocurre de forma retrasada (desfase) después del pico de presas.
2. Resolución Numérica (Método RK4)
Dado que el sistema no lineal carece de solución analítica explícita para el tiempo, esta calculadora emplea el método de Runge-Kutta de 4º orden (RK4) para la integración numérica. El uso de este algoritmo garantiza un error de truncamiento mínimo, evitando la deriva numérica (drift) y preservando la topología de las órbitas cerradas, algo que métodos de menor orden como Euler no logran sostener en parámetros extremos.
3. Limitaciones del Modelo Clásico Continuo
El modelo asume un ecosistema idealizado. Es crucial considerar las siguientes limitaciones al interpretar los resultados:
①La paradoja de los números fraccionarios: El modelo es continuo, tratando a la población como un fluido. Puedes notar que los resultados arrojan mínimos poblacionales como 10−18. Matemáticamente la curva sobrevive, pero en la realidad biológica discreta, cualquier valor inferior a 1 individuo significa extinción irremediable (señalada por nuestras alertas de interfaz).
②Crecimiento infinito de presas: En ausencia de depredadores (y=0), las presas crecen exponencialmente al infinito. El modelo omite la capacidad de carga (crecimiento logístico) del entorno.
③Saciedad del depredador: La tasa de consumo es βxy, asumiendo que los depredadores tienen un apetito infinito (Respuesta Funcional Tipo I). En la realidad, existe un límite de saciedad y tiempo de manipulación de la presa (Holling Tipo II).
4. Cómo leer los gráficos
Evolución Temporal: Muestra la historia poblacional. Las ondas evidencian la reacción en cadena biológica: la abundancia de presas genera un pico posterior de depredadores, lo que a su vez causa el colapso masivo de las presas, seguido inevitablemente por la inanición de los depredadores.
Unidades de Tiempo: El eje temporal no tiene una unidad universal fija (días, meses, años). Es una unidad arbitraria que hereda su escala de las tasas ingresadas. Si las tasas de crecimiento (α) y mortalidad (γ) se miden en "por año" (ej. linces y liebres), el eje X representará años. Si se miden en "por hora" (microorganismos), el eje X indicará horas.
Espacio de Fases: Elimina el eje del tiempo para mostrar la interacción pura. El tiempo está "oculto" y fluye viajando a lo largo de la línea (generalmente en sentido antihorario). Cada punto en la órbita representa una fotografía de todo el ecosistema en un instante exacto. Cuanto más se aleja la órbita del punto de equilibrio central, más severas y peligrosas son las fluctuaciones.