Qué representa el SIR
El modelo divide una población cerrada en susceptibles (S), infectados e infecciosos (I) y recuperados con inmunidad permanente (R). El flujo es S → I → R y se conserva S + I + R = N. Las condiciones iniciales son I₀ infectados, S₀ = N − I₀ y R(0) = 0.
Los valores iniciales N e I₀ son conteos enteros; la evolución de los compartimentos es una aproximación continua y puede tener valores fraccionarios. I₀ = 0 produce un escenario sin infección: el modelo no introduce casos espontáneos.
Esta familia de modelos parte del trabajo de Kermack y McKendrick (1927). Describe la evolución de la infección bajo supuestos definidos; los parámetros de una población concreta requieren estimación a partir de datos.
Transmisión y recuperación
β y γ tienen unidades día⁻¹. β combina contactos y probabilidad de transmisión; es una tasa, no una probabilidad diaria, y puede superar 1 día⁻¹. γ representa la tasa de recuperación; con γ > 0, el tiempo infeccioso medio es 1/γ.
Una tasa γ constante implica una distribución exponencial del tiempo de salida de I: 1/γ es una media, no un tiempo de recuperación idéntico para cada individuo. Con γ = 0, el modelo se reduce al límite SI y no hay recuperación. Con β = γ = 0, todos los compartimentos permanecen constantes y β/γ no está definido.
Reproducción básica y efectiva
Con γ > 0, R₀ es el número medio de infecciones secundarias por infectado en una población totalmente susceptible. R₀ > 1 significa más de un contagio por infectado en promedio bajo esa condición; no describe cuántos contagios produce cada individuo. Con I > 0, el crecimiento de los infectados en el escenario actual depende de Re(t): si Re > 1, I crece; si Re < 1, decrece. R₀ > 1 no garantiza crecimiento cuando ya quedan pocos susceptibles.
Si Re cruza 1 desde arriba, el máximo de I ocurre cuando S* = N/R₀. La línea punteada del gráfico marca ese número de susceptibles, no una cantidad de inmunes. Si el escenario ya empieza con Re(0) ≤ 1, el máximo está en t = 0.
Re = 1 significa pendiente instantánea nula de I; S y R pueden seguir cambiando, por lo que no implica un equilibrio endémico. Estas relaciones se describen en Morris y colaboradores (2021).
Umbral de inmunidad de rebaño (HIT)
El umbral de inmunidad es el porcentaje inmune teórico que evita el crecimiento inicial de la infección bajo mezcla homogénea e inmunidad protectora perfecta. Para R₀ > 1, esa cobertura lleva Re a 1; para R₀ ≤ 1, el umbral es cero. No es una predicción de cuántas personas se recuperarán ni de la cobertura necesaria con una vacuna imperfecta.
Al cruzar Re = 1 durante un brote, la incidencia no se anula: aún hay infectados que transmiten. La proporción acumulada de infecciones puede superar el porcentaje del HIT mientras I desciende.
Durante un brote, N − S incluye infectados y recuperados. Por eso el porcentaje acumulado de infecciones no equivale al porcentaje inmune. El escenario parte sin inmunidad inicial ni vacunación; el HIT es una referencia teórica. R₀ = ∞ y HIT = 100 % con β > 0 y γ = 0 son límites formales, no un escenario de recuperación.
Prevalencia, incidencia y acumulado
I(t) es el número de individuos infectados en un instante; la prevalencia como proporción es I(t)/N. La incidencia c(t) = βS(t)I(t)/N es una tasa de nuevas infecciones por día. Su máximo puede preceder al máximo de I, porque la recuperación también interviene en la evolución de los infectados.
El gráfico de incidencia representa esa tasa instantánea. Los casos nuevos entre dos instantes se obtienen integrando c(t) en ese intervalo. El acumulado hasta el horizonte es N − S(tMax) = I(tMax) + R(tMax) e incluye I₀.
Tiempo continuo, horizonte y descenso
El tiempo del SIR es continuo: los picos y cruces de umbral pueden ocurrir entre días enteros. Por ejemplo, 166.8 días equivalen a 166 días, 19 horas y 12 minutos. La unidad «por día» de la incidencia no convierte el tiempo en intervalos diarios discretos.
El horizonte delimita el intervalo observado. Si una curva sigue creciendo al final, el máximo observado corresponde a ese intervalo y el pico aún no se alcanzó. Un máximo también puede estar al inicio o ser constante en todo el intervalo.
El primer descenso a I < 1 se informa como un tiempo de cruce, incluso cuando el brote decrece desde el inicio. En un SIR continuo, I normalmente tiende a cero sin alcanzarlo en tiempo finito: menos de un individuo esperado es una convención, no evidencia de extinción estocástica real.
Los decimales de los resultados no describen la incertidumbre de las tasas, la variación entre poblaciones ni la variabilidad individual.
Ejemplos y límites del modelo
Los ejemplos usan tasas constantes ilustrativas. Las referencias contextualizan R₀; no establecen una calibración de los pares β y γ mostrados. El ejemplo de COVID-19 corresponde a estimaciones tempranas de 2020. Las estimaciones de R₀ dependen de población, variante, entorno y método; no son constantes universales de cada enfermedad.
- Mezcla homogénea: sin edades, geografía ni redes de contacto.
- Infecciosidad inmediata: no hay etapa latente anterior a I. SEIR incluye un compartimento expuesto antes del infeccioso; el periodo latente y la incubación clínica son conceptos distintos.
- Inmunidad permanente: no hay reinfección ni pérdida de inmunidad.
- Tasas y población constantes: sin intervenciones variables, vacunación, nacimientos, migración ni mortalidad.
- Dinámica determinista: sin fluctuaciones por azar, incertidumbre de parámetros ni extinción estocástica, efectos relevantes cuando quedan pocos infectados.