Difracción de Bragg

Calculadora de la Ley de Bragg para cristalografía: relaciona longitud de onda, distancia interplanar y ángulo de difracción.

Parámetros de entrada

¿Qué deseas calcular?

Orden de difracción (n)

Número entero que representa el orden del reflejo.

110

Ángulo rasante (θ)

Calculado automáticamente.

Distancia interplanar (d)

Distancia perpendicular entre planos atómicos adyacentes.

0.520

Longitud de onda (λ)

Longitud de onda del haz incidente (ej. Rayos X).

0.110

Resultados

Ángulo de Bragg (θ)

22.64

Ángulo del detector (2θ)

45.29

Energía del Fotón (E)

8.051

keV

Dif. Camino / plano (d·sinθ)

0.77

Dif. Camino total (2d·sinθ)

1.54

Visualización del Cristal y Haz (Sección Transversal)

Fundamentos y Explicación

¿Qué es la Ley de Bragg?

La Ley de Bragg fue formulada por William Lawrence Bragg y William Henry Bragg en 1913, hallazgo por el cual recibieron el Premio Nobel de Física en 1915. Describe las condiciones fundamentales bajo las cuales un haz de rayos X, electrones o neutrones interactúa con la estructura periódica de un cristal produciendo interferencia constructiva.

A diferencia de la óptica geométrica clásica, el ángulo de Bragg ( $\theta$ ) no se mide respecto a la normal de la superficie, sino respecto al plano cristalográfico (es un ángulo rasante).

Interferencia y Ecuación Principal

La interferencia constructiva (y por tanto, la observación de un pico de difracción) ocurre únicamente cuando la diferencia de camino óptico entre los rayos dispersados por planos atómicos adyacentes es igual a un múltiplo entero de la longitud de onda incidente.

Ecuación de Bragg

n \lambda = 2d \sin(\theta)

$n$ : Orden de difracción (entero positivo: 1, 2, 3...).
$\lambda$ : Longitud de onda del haz incidente (típicamente en Å o nm).
$d$ : Distancia interplanar (espaciado atómico) entre los planos cristalográficos.
$\theta$ : Ángulo de incidencia rasante (ángulo de Bragg).

Análisis de Cálculos y Variables

La calculadora permite resolver la ecuación de Bragg aislando la variable de interés:

Despeje de Espaciado (d)

d = \frac{n \lambda}{2 \sin(\theta)}

Despeje de Ángulo (θ)

\theta = \arcsin\left(\frac{n \lambda}{2d}\right)

Consideración Analítica: Al calcular $\theta$ , la ecuación revela la no linealidad de la difracción. Pequeños cambios en $d$ a ángulos altos producen desplazamientos angulares significativamente mayores en el espectro (mayor dispersión), lo que hace que los picos a altos ángulos de $2\theta$ sean cruciales para la determinación precisa de la celda unitaria. El error relativo en d es proporcional a cot(θ), por lo que tiende a cero cuando θ → 90°, maximizando la precisión.

Cristalografía y Energía (XRD)

En la difracción de rayos X, la longitud de onda $\lambda$ (Å) está inversamente relacionada con la energía del fotón $E$ (keV) mediante la aproximación de Planck-Einstein:

E = \frac{hc}{\lambda}

hc = 12398.4 \text{ eV}\cdot\text{\AA} \approx 12.398 \text{ keV}\cdot\text{\AA}

Ejemplo estándar: La línea de emisión característica $K\alpha$ del Cobre (usada en la mayoría de difractómetros de polvo) tiene $\lambda \approx 1.5406$ Å, lo que equivale a una energía de fotón de ~8.05 keV.

Límite Geométrico de Difracción

Dado que la función seno matemática está acotada entre -1 y 1, la Ley de Bragg impone una restricción física ineludible:

\sin(\theta) \le 1 \implies n\lambda \le 2d

Si la longitud de onda utilizada es superior al doble del espaciado interplanar del cristal ( $\lambda > 2d$ ), es matemáticamente y físicamente imposible observar difracción para ese plano. Para un orden n, la condición se generaliza a $n\lambda \le 2d$ .

Fuentes Típicas

Cu Kα: 1.5406 Å

Mo Kα: 0.7107 Å

Co Kα: 1.78897 Å

Ag Kα: 0.5594 Å

Conversiones

1 Å = 10⁻¹⁰ m

1 nm = 10 Å

1 pm = 10⁻² Å

Referencias Académicas

[1] Bragg, W. L. (1913). The Diffraction of Short Electromagnetic Waves by a Crystal. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 17, 43-57. (Publicación original de la Ley de Bragg).
[2] Kittel, C. (2004). Introduction to Solid State Physics(8th ed.). John Wiley & Sons. (Fundamentos de redes recíprocas y difracción cristalina).
[3] Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2001). Elements of X-Ray Diffraction (3rd ed.). Prentice Hall. (Texto canónico para análisis práctico y consideraciones de difracción en materiales).

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