Esfuerzo plano y ecuaciones de transformación
El esfuerzo (también llamado tensión) es fuerza por unidad de área. En esfuerzo plano, las componentes que involucran la dirección z son nulas: σz = τxz = τyz = 0. Las componentes σx, σy y τxy describen el estado de esfuerzos en un punto; al girar los ejes cambian las componentes, pero el estado físico es el mismo.
El vector de esfuerzos sobre una cara de normal n es t = σn. Al plantear el equilibrio de una cuña infinitesimal, las áreas de las caras paralelas a los ejes son proyecciones del área inclinada. Proyectar las fuerzas sobre la normal y la tangente de la cara inclinada conduce a las ecuaciones de transformación:
θ es el ángulo que gira la normal de la cara, de +x hacia +y; no es el ángulo de la cara misma. El esfuerzo normal es positivo en tracción. Un τxy positivo actúa hacia +y sobre la cara +x y hacia +x sobre la cara +y; en las caras opuestas las flechas se invierten.
Construcción y sentido del círculo
Los puntos X = (σx, τxy) e Y = (σy, −τxy) son extremos de un diámetro. El centro está en (C, 0). Al eliminar θ de las ecuaciones se obtiene:
Para trazarlo a mano:
- Ubicar X e Y usando la misma escala en ambos ejes.
- Unir X e Y: el diámetro corta el eje σ en el centro C.
- Medir el radio R, distancia de C a X.
- Leer σ₁ y σ₂ en los cortes con el eje σ, y ±τmax en los puntos más alejados de ese eje.
- Para un plano girado θ, rotar el diámetro XY un ángulo 2θ; los extremos son X′ e Y′.
Con τ positivo hacia abajo, el diámetro gira en el mismo sentido que el elemento; con τ positivo hacia arriba, en sentido opuesto. Los textos usan una u otra convención: cambia el dibujo, no los valores ni el signo físico del cortante.
En el diagrama, el diámetro continuo une X′ e Y′ y el punteado une X e Y; los arcos marcan 2θ y 2θp₁. Como θ y θ + 180° dan las mismas componentes, medio giro del elemento equivale a una vuelta completa en el círculo. El círculo unitario ayuda a interpretar el ángulo doble.
Esfuerzos principales y cortante máximo en el plano
En un plano principal no hay esfuerzo cortante. Los cortes con el eje σ dan σ₁ = C + R y σ₂ = C − R. La ecuación tan 2θp = 2τxy/(σx − σy) tiene dos soluciones separadas 90°; la función atan2 elige la que corresponde a σ₁:
Los ángulos se expresan en (−90°, 90°]. El cortante máximo en el plano vale R y va acompañado del esfuerzo normal promedio C. θs+ produce +R y θs− produce −R. Si R = 0, toda dirección del plano es principal y los ángulos no son únicos.
Un estado (60, 60, 0) es equibiaxial, con R = 0. En esfuerzo plano no es un estado hidrostático tridimensional: el tercer principal sigue siendo cero.
Por qué el cortante absoluto puede ser mayor
Los tres esfuerzos principales son σ₁, σ₂ y σz = 0. σ₁ y σ₂ se ordenan dentro del plano (σ₁ ≥ σ₂); el cero puede quedar por encima, por debajo o entre ambos. Una superficie libre de cargas tiene esfuerzos normales y cortantes nulos sobre ella; por eso una placa delgada cargada en su plano se aproxima como esfuerzo plano.
Si los dos principales del plano tienen el mismo signo y no son nulos, el círculo exterior involucra la dirección z. Los planos donde se alcanza ese máximo tienen la normal inclinada fuera de xy; por eso ningún giro θ dentro del plano llega a τabs.
Por ejemplo, (100, 50, 0) MPa da R = 25 MPa, pero τabs = 50 MPa. Por eso se dibujan círculos adicionales entre cada principal y cero. Si los principales tienen signos opuestos o uno es cero, τabs = R.
Esfuerzos equivalentes y autovalores
Von Mises y Tresca expresan el estado multiaxial como un único esfuerzo equivalente. En esfuerzo plano:
Para evaluar la falla, el equivalente se compara con la resistencia del material según el criterio elegido. Tresca es el más conservador de los dos: en cualquier estado, σTresca ≥ σvM.
Los principales del plano son los autovalores de la matriz simétrica de esfuerzos, y sus autovectores dan las direcciones principales; la relación puede explorarse con el analizador matricial. La traza y el determinante se conservan al girar los ejes.
Ejemplo, alcance y fuentes
Para σx = 80, σy = −40 y τxy = 25 MPa: C = 20 MPa, R = 65 MPa, σ₁ = 85 MPa y σ₂ = −45 MPa. θp₁ ≈ 11.30993°. Al girar 30°, σx′ ≈ 71.65064 MPa, σy′ ≈ −31.65064 MPa y τx′y′ ≈ −39.46152 MPa.
El cálculo trata esfuerzos, no deformaciones ni rosetas, y se limita al esfuerzo plano: no admite un tensor 3D general. En geomecánica suele adoptarse compresión positiva; esos datos deben adaptarse a la convención de tracción positiva usada aquí.
MIT OCW, Raúl Radovitzky: Transformation of stress components. Derivación tensorial, principales y círculo de Mohr.
David Roylance, MIT: Transformation of stresses and strains. Transformación y extensión a tres dimensiones.
R. C. Hibbeler, Mechanics of Materials, capítulo 9. Beer y Johnston, Statics and Mechanics of Materials: textos de consulta sobre transformación de esfuerzos.