Qué agrega el SEIR
El modelo SIR supone que una persona infectada puede contagiar inmediatamente. El SEIR introduce una etapa expuesta (E): la infección ya ocurrió, pero todavía no hay transmisión. El recorrido es S → E → I → R: susceptibles, expuestos, infecciosos y recuperados con inmunidad permanente.
Latencia e incubación no son lo mismo. La latencia termina al comenzar la capacidad de contagio; la incubación, al aparecer síntomas. Una infección puede transmitirse antes de los síntomas. Aquí I representa a quienes pueden contagiar, con síntomas o sin ellos.
La población es cerrada y se conserva S + E + I + R = N. Al inicio S₀ = N − I₀, E(0) = R(0) = 0 e I(0) = I₀. La referencia SIR parte del mismo estado, para comparar únicamente el efecto de la latencia. Con I₀ = 0 no aparece un brote espontáneo.
Ecuaciones y tiempos medios
Las tres tasas tienen unidades día⁻¹. β combina contactos y probabilidad de transmisión, σ es la tasa de paso a infeccioso y γ la tasa de recuperación. Son tasas, no probabilidades diarias. La latencia media es 1/σ y, con γ > 0, la duración infecciosa media es 1/γ.
Las tasas constantes implican tiempos de permanencia exponenciales: cada individuo puede permanecer un tiempo diferente, no exactamente la media. Este modelo básico se describe en el capítulo 2 de Keeling y Rohani, Modeling Infectious Diseases in Humans and Animals.
Se admite σ entre 0.01 y 2 día⁻¹, es decir, una latencia media de 100 a 0.5 días. Con σ = 0 nadie saldría de E, por eso queda fuera del modelo. Con γ = 0 se obtiene el límite SEI, sin recuperación; con β = γ = 0 y E(0) = 0, todos los compartimentos son constantes.
Qué no cambia al agregar latencia
Con γ > 0, R₀ no depende de σ: todos los expuestos pasan finalmente a I y tienen la misma duración infecciosa media. Tampoco cambian Re(0) ni el umbral de inmunidad HIT. El umbral supone mezcla homogénea y protección perfecta; no predice el tamaño final del brote.
Al sumar las ecuaciones de E e I se obtiene d(E+I)/dt = β·S·I/N − γ·I. Con β > 0, las fracciones s = S/N, e = E/N e i = I/N satisfacen el invariante:
Por eso E + I es la misma función de S que I en el SIR de referencia, aunque se recorra a otra velocidad. Con infección inicial y Re(0) > 1, el máximo de E + I ocurre en S* = N/R₀ y coincide con el máximo de I del SIR. S* no marca el máximo de I del SEIR. Si Re(0) ≤ 1, el máximo global de ambos es I₀.
Para β, γ > 0 e I₀ > 0, el tamaño final también coincide: la fracción susceptible final satisface ln(s∞/s₀) = −R₀(1 − s∞). Estas igualdades se refieren al brote completo; los máximos observados y los acumulados a un mismo día pueden diferir.
Qué cambia: crecimiento, duplicación y pico
Al comienzo, con S aproximadamente constante en S₀, la tasa exponencial dominante r satisface:
En un brote creciente, r es menor que β·s₀ − γ, la tasa del SIR sin latencia. La duplicación tarda más. En los ejemplos, el máximo de infecciosos es menor y más tardío; el de E + I conserva su altura. Aumentar σ acorta la latencia y aproxima la trayectoria al SIR.
r no es la pendiente instantánea de I al inicio. Como E(0) = 0, dI/dt(0) = −γ·I₀: I empieza bajando si hay recuperación e infección inicial, aunque E + I esté creciendo. El modo exponencial se observa después de ese transitorio y antes de que cambie mucho S. Cerca del umbral puede no haber repunte, o quedar por debajo de I₀; entonces el máximo global es el inicial.
El intervalo generacional intrínseco medio, entre la infección de un individuo y la de sus contagios secundarios en el modelo, es Tg = 1/σ + 1/γ. Es 1/γ en el SIR. No es el intervalo entre síntomas ni una estimación de intervalos observados durante todo el brote. Sin transmisión o sin siembra, las tasas teóricas no implican que exista una fase de crecimiento observable.
Estimar reproducción a partir del crecimiento
Con γ > 0 y s₀ > 0, esta identidad muestra que una misma r positiva requiere mayor reproducción al incluir latencia. Usar la relación SIR, Re = 1 + r/γ, la subestima frente a este SEIR. Es distinto de fijar β y γ en el simulador: en esa comparación R₀ permanece igual y cambia r.
Wallinga y Lipsitch (2007) explican la dependencia con la distribución del intervalo generacional. Wearing, Rohani y Keeling (2005) muestran por qué omitir latencia o imponer distribuciones inadecuadas puede sesgar estimaciones y conclusiones sobre control.
Tiempo observado y criterio E + I < 1
N e I₀ son conteos enteros; la evolución es continua y admite individuos fraccionarios como aproximación matemática. E + I < 1 señala el primer cruce descendente bajo una unidad, no una extinción estocástica ni el fin clínico de una epidemia.
Un horizonte corto puede terminar antes de los máximos. En ese caso se muestra el máximo observado y un aviso; el valor puede ser todavía I₀ durante la bajada inicial. Los acumulados son E + I + R al final del tiempo observado e incluyen a I₀. Más cifras permiten inspeccionar el cálculo, pero no aumentan la certeza epidemiológica.
Ejemplos y procedencia de los parámetros
Los pares β/γ son los ejemplos ilustrativos del SIR, conservados para comparar. Las referencias de R₀ aportan contexto; no convierten los parámetros en un ajuste a una población real. Las latencias proceden de estudios específicos:
- COVID-19 original: Xin y colaboradores (2022) estiman 5.5 días de latencia media (IC 95 %: 5.1–5.9); σ = 0.18 da 5.556 días. Usan detección viral por PCR como aproximación al inicio de la excreción; no una medición directa de cada contagio ni un valor universal para variantes posteriores.
- Influenza: Cori y colaboradores (2012) estiman 1.6 días de latencia desde perfiles de excreción viral. Su duración infecciosa estimada es 1 día; aquí se conservan los 5 días ilustrativos del SIR, por lo que el ejemplo no reproduce el ajuste completo del artículo. Carrat y colaboradores (2008) describen un aumento marcado de la excreción entre 0.5 y 1 día tras la inoculación; no es la misma medida que la latencia media ajustada.
- Sarampión: Conlan y colaboradores (2010) recogen 8 días de latencia y 5 de infecciosidad en estudios de hogares. Se toma la latencia, pero se conservan los 10 días infecciosos ilustrativos del SIR. Mantener R₀ = 15 con 5 días exigiría β = 3, fuera del dominio de esta herramienta.
Supuestos y límites
Se asumen mezcla homogénea, tasas constantes, población cerrada e inmunidad permanente. No hay edades, nacimientos, muertes, reinfección, hospitalización, intervenciones ni ajuste a datos. La distribución exponencial de las permanencias es una simplificación: otras distribuciones cambian la dinámica. Esta herramienta permite estudiar el modelo; no genera pronósticos epidemiológicos.