Ondas Sísmicas P y S

Análisis de propagación de ondas de cuerpo en medios elásticos, homogéneos e isotrópicos. Calcula las velocidades compresionales y de cizalla, el módulo de Poisson y estima distancias epicentrales locales mediante el método S-P.

Parámetros de entrada

Medios geológicos de referencia

Densidad (ρ)

Densidad del medio elástico isotrópico. Corteza ≈ 2700, manto ≈ 3300 kg/m³.

5006000

Módulo de Bulk (K)

Resistencia a la compresión volumétrica del medio.

0300

Módulo de Cizalla (μ)

Rigidez del medio. En fluidos μ = 0 y las ondas S no se propagan.

0250

Intervalo S − P (Δt)

Diferencia de tiempo entre la llegada de la onda S y la onda P en una estación.

0300

Resultados

Velocidad onda P (Vₚ)

5.709

km/s

Velocidad onda S (Vₛ)

3.162

km/s

Razón Vₚ/Vₛ

1.805

Módulo de Poisson (ν)

0.2787

Distancia epicentral (Δ)

212.7

Hodócrona — Tiempo de llegada P y S vs distancia

Vp/Vs = 1.805

Fundamentos y Explicación

Ondas P y S en un medio elástico

En un sólido elástico, isotrópico y homogéneo, una perturbación se propaga como dos modos independientes derivados de la ecuación de Navier-Cauchy. La onda P (primaria, compresional) hace que las partículas oscilen en la misma dirección de propagación; la onda S (secundaria, de cizalla) las hace oscilar perpendicularmente. Las ondas S no se propagan en fluidos ideales: por eso el núcleo externo de la Tierra produce una sombra de ondas S en sismos lejanos.

Sus velocidades dependen de la densidad $\rho$ y de los módulos elásticos: el módulo de bulk $K$ (incompresibilidad) y el módulo de cizalla $\mu$ (rigidez).

Velocidades fundamentales

Onda P (compresional)

V_p = \sqrt{\dfrac{K + \tfrac{4}{3}\mu}{\rho}}

Onda S (cizalla)

V_s = \sqrt{\dfrac{\mu}{\rho}}

Como $K + \tfrac{4}{3}\mu > \mu$ siempre, las ondas P son más rápidas que las S — de ahí su nombre, llegan primero a la estación. La razón $V_p/V_s$ es un indicador litológico: corteza continental ≈ 1.73, basaltos saturados pueden superar 1.9, sedimentos secos descienden hasta 1.5.

Módulo de Poisson

La razón de Poisson $\nu$ mide cuánto se contrae lateralmente un material al estirarlo. Para medios isotrópicos se relaciona directamente con las velocidades sísmicas:

\nu = \dfrac{V_p^2 - 2 V_s^2}{2(V_p^2 - V_s^2)}

El rango físico es $-1 \le \nu \le 0.5$ , pero materiales reales casi siempre cumplen $0 \le \nu \le 0.5$ . $\nu = 0.5$ corresponde a un fluido incompresible; rocas típicas oscilan entre 0.20 y 0.35.

Distancia epicentral por método S − P

Si el medio es homogéneo, una sola estación puede estimar la distancia al epicentro a partir del retardo entre ondas. Definiendo $t_p = D/V_p$ y $t_s = D/V_s$ , su diferencia es:

\Delta t = t_s - t_p = D \cdot \dfrac{V_p - V_s}{V_p \, V_s} \quad \Longrightarrow \quad \Delta = \Delta t \cdot \dfrac{V_p \, V_s}{V_p - V_s}

Esta es la base de la regla de Wadati: cuando se grafican $t_s - t_p$ contra $t_p$ de varias estaciones, la pendiente es $V_p/V_s - 1$ y la intersección permite estimar el origen del sismo. La aproximación supone Tierra plana y velocidades constantes; para distancias mayores a ~1500 km se requiere un modelo radial (PREM, IASP91).

Velocidades típicas en la Tierra

Aire: Vₚ ≈ 0.34 km/s

Agua de mar: Vₚ ≈ 1.5 km/s · Vₛ = 0

Sedimentos no consolidados: Vₚ ≈ 1–2.5 km/s

Granito (corteza superior): Vₚ ≈ 5.5–6 km/s · Vₛ ≈ 3.0–3.5 km/s

Basalto (corteza oceánica): Vₚ ≈ 6–7 km/s · Vₛ ≈ 3.4–3.8 km/s

Manto superior (peridotita): Vₚ ≈ 7.8–8.4 km/s · Vₛ ≈ 4.4–4.8 km/s

Núcleo externo: Vₚ ≈ 8–10 km/s · Vₛ = 0 (fluido)

Núcleo interno: Vₚ ≈ 11 km/s · Vₛ ≈ 3.5 km/s

Razón Vₚ/Vₛ y Poisson

Una identidad útil relaciona ambas razones:

\left(\dfrac{V_p}{V_s}\right)^{\!2} = \dfrac{2(1-\nu)}{1-2\nu}

Para $\nu = 0.25$ se obtiene $V_p/V_s = \sqrt{3} \approx 1.732$ (medio de Poisson estándar, frecuente en corteza continental).

Limitaciones del modelo

Asume medio elástico, isotrópico y homogéneo. La Tierra real es estratificada y presenta anisotropía azimutal.
La hodócrona resultante son rectas; en la Tierra real las curvas son ligeramente convexas hacia el origen por el aumento de velocidad con la profundidad.
Ignora la atenuación intrínseca $(Q^{-1})$ , dispersión y conversiones P↔S en interfaces.
El método S−P de una estación da la distancia, no la dirección: hace falta triangulación con ≥ 3 estaciones para localizar el hipocentro.

Referencias Académicas

[1] Aki, K., & Richards, P. G. (2002). Quantitative Seismology (2nd ed.). University Science Books. (Texto canónico de teoría de ondas elásticas y sismología.)
[2] Shearer, P. M. (2019). Introduction to Seismology (3rd ed.). Cambridge University Press. (Tratamiento moderno y accesible de hodócronas y métodos S−P.)
[3] Wadati, K. (1933). On the travel time of earthquake waves. Part II. Geophysical Magazine, 7, 101–111. (Origen del diagrama Wadati y del método S−P.)
[4] Dziewonski, A. M., & Anderson, D. L. (1981). Preliminary Reference Earth Model (PREM). Physics of the Earth and Planetary Interiors, 25(4), 297–356.

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