Puntos de Lagrange (CR3BP)

Simulador del Problema Circular Restringido de 3 Cuerpos

Presets astronómicos

Masa del cuerpo primario

Masa del cuerpo más masivo (ej. Sol, Tierra)

1.000e-61.000e+6

Masa del cuerpo secundario

Masa del cuerpo menos masivo (ej. Tierra, Luna)

1.000e-6333100

Distancia orbital

Distancia entre los dos cuerpos primarios

0.0011.000e+6

El modelo CR3BP asume órbitas perfectamente circulares (excentricidad e = 0). Para órbitas elípticas, los puntos pulsarían dinámicamente.

Mapa Orbital — Puntos de Lagrange

Posiciones de los Puntos de Lagrange

x [UA]

y [UA]

Estabilidad

—

Criterio de Routh: μ_c ≈ 0.0385

Radio de Hill (R_H)

—

Parámetro de masa (μ)

—

μ = M₂ / (M₁ + M₂)

Fundamentos y Explicación

¿Qué son los Puntos de Lagrange?

En mecánica celeste, los puntos de Lagrange (o puntos de libración) son cinco posiciones en un sistema de dos cuerpos en órbita mutua donde un tercer objeto de masa despreciable puede mantenerse en equilibrio relativo: moverse junto al sistema sin caer hacia ninguna de las dos masas. Fueron identificados por Joseph-Louis Lagrange en 1772 resolviendo el problema restringido de tres cuerpos.

Este simulador usa el modelo CR3BP (Circular Restricted Three-Body Problem): órbitas circulares, masas constantes, y un marco de referencia rotante donde M₁ y M₂ permanecen fijas. Es la herramienta estándar usada por agencias como NASA y ESA para planificar misiones como JWST o SOHO.

El parámetro de masa μ

Todo el sistema queda determinado por un único número adimensional, μ, que representa la fracción de masa que aporta el cuerpo secundario:

\mu = \frac{M_2}{M_1 + M_2}

La distancia orbital se normaliza a R = 1. En este sistema, M₁ se ubica en x₁ = −μ y M₂ en x₂ = 1 − μ, con el baricentro en el origen. Todos los resultados se convierten luego a las unidades físicas reales (UA, km, etc.).

Sistema	μ	Interpretación
Sol – Tierra	3.003 × 10⁻⁶	La Tierra es 333 000× menos masiva que el Sol
Tierra – Luna	0.01215	La Luna es ~1.2% de la masa del sistema
Sol – Júpiter	9.533 × 10⁻⁴	Júpiter concentra el 99.9% de la masa planetaria

Los cinco puntos de equilibrio

Lagrange demostró que existen exactamente cinco soluciones de equilibrio. Tres son colineales (sobre el eje M₁–M₂) y dos son triangulares(forman triángulos equiláteros con las masas).

Puntos colineales: L1, L2, L3

Su posición se obtiene resolviendo la ecuación del potencial efectivo, que no tiene solución algebraica cerrada. El simulador la resuelve numéricamente con alta precisión (tolerancia 10⁻¹²) usando el método iterativo de Newton-Raphson:

f(x) = x - \frac{(1-\mu)(x+\mu)}{|x+\mu|^3} - \frac{\mu(x-1+\mu)}{|x-1+\mu|^3} = 0

L1 — Entre M₁ y M₂. Punto de equilibrio inestable donde la atracción de ambas masas se cancela.
L2 — Más allá de M₂ (del lado opuesto a M₁). Usado por telescopios que requieren sombra continua del Sol.
L3 — En el lado opuesto de la órbita de M₂, ligeramente más allá de M₁.

Puntos triangulares: L4 y L5

Sus coordenadas son exactas y no requieren cálculo numérico, ya que la geometría equiláteral las determina completamente:

L_{4,5} = \left(\frac{1}{2} - \mu,\; \pm\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

L4 está 60° adelante de M₂ en su órbita (punto "griego" en el sistema Sol-Júpiter) y L5 está 60° atrás (punto "troyano").

Estabilidad

L1, L2 y L3 son siempre inestables: cualquier perturbación hace que un objeto se aleje exponencialmente. Las naves en estos puntos necesitan correcciones de órbita periódicas (station-keeping).

L4 y L5 son condicionalmente estables gracias a la fuerza de Coriolis en el marco rotante. Son estables únicamente si la masa secundaria es suficientemente pequeña — criterio de Routh (1875):

\mu < \mu_c = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{\sqrt{69}}{9}\right) \approx 0.03852

Los tres sistemas de los presets cumplen este criterio. Sol–Júpiter (μ ≈ 9.5×10⁻⁴) lo cumple con holgura, lo que explica la existencia de más de 12 000 asteroides troyanos confirmados en sus puntos L4 y L5.

Esfera de Hill

Define la región donde M₂ domina gravitatoriamente sobre M₁. Todo satélite —natural o artificial— que orbite a M₂ debe hacerlo dentro de esta esfera para no ser capturado por M₁:

R_H \approx R \cdot \sqrt[3]{\frac{\mu}{3}}

Es una aproximación válida para μ pequeño. La Luna orbita a ~384 400 km, bien dentro de la esfera de Hill terrestre (~1.5 millones de km). Júpiter tiene la esfera de Hill más grande del sistema solar: ~742 millones de km.

Aplicaciones reales

L1 Sol-Tierra: El observatorio solar SOHO lleva operativo desde 1996 monitoreando el viento solar en tiempo real.
L2 Sol-Tierra: El Telescopio Espacial James Webb (JWST) opera aquí desde 2022, donde el escudo solar lo protege permanentemente.
L4/L5 Sol-Júpiter: Los asteroides troyanos y griegos — más de 12 000 confirmados — comparten la órbita de Júpiter en estos puntos.
L4/L5 Sol-Tierra: La misión STEREO-A/B de NASA los utilizó para obtener vistas estereoscópicas del Sol.

Constantes físicas usadas

Todos los valores del simulador se basan en estándares internacionales:

Constante	Valor	Fuente
M_☉ (Sol)	1.989 × 10³⁰ kg	IAU 2015 Res. B3
M_⊕ (Tierra)	5.972 × 10²⁴ kg	NASA NSSDCA
M_☾ (Luna)	7.346 × 10²² kg	NASA NSSDCA
M_J (Júpiter)	1.898 × 10²⁷ kg	JPL SSD
1 UA	1.496 × 10¹¹ m	IAU 2012 Res. B2

Las masas en kg se derivan como GM/G usando CODATA 2018 (G = 6.67430 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻²). La UA está definida exactamente como 149 597 870 700 m desde 2012.

Limitaciones del modelo

Asume órbitas perfectamente circulares (e = 0). Las órbitas reales son elípticas: Júpiter tiene e = 0.049.
Ignora perturbaciones de terceros cuerpos (Saturno perturba sensiblemente el sistema Sol-Júpiter).
El tercer cuerpo tiene masa despreciable y no influye sobre M₁ ni M₂.
Para órbitas elípticas, los puntos L4/L5 oscilan dinámicamente — ver modelo ER3BP.