Leyes de Kepler — Simulador Orbital

Simulador de órbitas elípticas Newtonianas de 2 cuerpos con resolución de la ecuación de Kepler

Presets astronómicos

Modo binario

Usa μ = G(M+m) y habilita la vista baricéntrica. Necesario cuando las masas son comparables (binarias estelares).

Masa central

Cuerpo en el foco. Sol, Tierra (para satélites) o estrella primaria.

5.028e-950.28

Semieje mayor

Promedio entre periastro y apoastro. Determina el tamaño y el período de la órbita.

6.685e-9668.5

Excentricidad

0 = órbita circular; cerca de 1 = elipse muy alargada (cometas).

—

00.99

Argumento del periapsis

Orientación de la elipse en el plano. No afecta los invariantes; sólo rota la geometría visual.

0360

Modelo Newtoniano de 2 cuerpos puntuales: sin perturbaciones de terceros cuerpos, sin relatividad general, sin presión de radiación ni rozamiento atmosférico. Las órbitas son estrictamente planares.

Mapa orbital

0.0%

Velocidad

Estado dinámico (vivo)

0.9833AU

|v|

30.29km/s

0°

dA/dt

22280010¹⁰ m²/s

g(r)

0.006135m/s²

Invariantes orbitales

Período T

0.9999

años

365.2 días

Energía específica ε

-443.7

MJ/kg

Momento angular específico h

4.456e+6

10⁹ m²/s

Geometría de la órbita

Periastro r_p

0.9833

Apoastro r_a

1.017

Semieje menor b

0.9999

Semilatus rectum p

0.9997

Velocidades extremas

Velocidad máxima v_max

30.29

km/s

Velocidad mínima v_min

29.3

km/s

Fundamentos y Explicación

Las Tres Leyes Empíricas y su Origen Newtoniano

Entre 1609 y 1619, Johannes Kepler postuló tres regularidades del movimiento planetario a partir de las observaciones de Marte de Tycho Brahe, marcando la primera ruptura formal con el modelo geocéntrico aristotélico-ptolemaico de órbitas circulares. Sesenta años después, Newton demostró que las tres son consecuencia exacta del problema de los dos cuerpos bajo gravedad universal F ∝ Mm/r². Hoy se interpretan como manifestación de simetrías profundas (Noether, 1918): la isotropía rotacional → conservación del momento angular → 2ª ley.

1ª ley (órbitas): los planetas describen elipses con el cuerpo central en uno de sus focos.
2ª ley (áreas): el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales.
3ª ley (armónica): el cuadrado del período es proporcional al cubo del semieje mayor.

Aclaración Histórica: Kepler enunció primero la 2ª y 1ª leyes (1609, Astronomia Nova), y diez años después la 3ª (1619, Harmonices Mundi). Trabajaba sin conocer la masa del Sol ni la constante G — esas magnitudes vendrían con Newton (1687) y Cavendish (1798). La fórmula T² = (4π²/GM)·a³ es Newtoniana, no Kepleriana en sentido estricto.

Geometría de la Elipse y Ecuación de Kepler

La elipse es el lugar geométrico cuya suma de distancias a dos focos es constante; el cuerpo central ocupa uno de los focos y el otro permanece vacío. La posición temporal del cuerpo se parametriza con tres ángulos relacionados — anomalías media (M), excéntrica (E) y verdadera (ν) — vinculados por la ecuación trascendente de Kepler.

Geometría (a, e)

b = a\sqrt{1-e^2}, \; r_p = a(1{-}e), \; r_a = a(1{+}e)

Ecuación de Kepler

M = E - e\,\sin E

Sin solución algebraica cerrada. El simulador la resuelve por Newton-Raphson con tolerancia 10⁻¹², usando el iniciador de Danby (convergencia cuártica para e < 0.95):
E₀ = M + e·sen(M)·(1 + e·cos(M))

Una vez obtenida E, las coordenadas del cuerpo y la anomalía verdadera se calculan analíticamente: x = a(cosE − e), y = a√(1−e²)·sinE, tan(ν/2) = √((1+e)/(1−e))·tan(E/2).

Tercera Ley: De Kepler a Newton

Kepler enunció empíricamente T² ∝ a³. Newton dedujo el coeficiente exacto a partir de su ley de gravitación, mostrando que depende de la suma de masas:

T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M_1+M_2)}\,a^3

En el caso reducido (m ≪ M), el factor (M+m) colapsa a M y la ley toma su forma kepleriana original. En sistemas binarios con masas comparables (binarias estelares, Plutón-Caronte), el factor M+m no se puede despreciar — el simulador expone esto como toggle. Al activarlo, ambos cuerpos se muestran orbitando alrededor de su baricentro común.

Sistema	m/M	Importancia de (M+m)
Sol – Tierra	3.0 × 10⁻⁶	Despreciable. Error en T < 10⁻⁶.
Sol – Júpiter	9.5 × 10⁻⁴	Pequeña pero medible: ~0.05% en T.
Plutón – Caronte	0.122	Relevante. El baricentro queda fuera de Plutón.
Sirio A – Sirio B	0.49	Indispensable. Ambas estrellas orbitan el baricentro común.

Invariantes Conservados y Vis-Viva

La órbita queda completamente determinada por dos cantidades conservadas: la energía mecánica específica (ε) y el momento angular específico (h), ambas funciones únicamente de los parámetros geométricos (a, e), donde μ = G(M+m):

Energía (ε)

\varepsilon = -\frac{\mu}{2a}

Mom. Angular (h)

h = \sqrt{\mu\,a(1-e^2)}

La conservación de h implica directamente la 2ª ley: dA/dt = h/2 = const. Combinando ambos invariantes se obtiene la ecuación vis-viva, base de toda la astrodinámica:

v(r) = \sqrt{\mu\left(\tfrac{2}{r} - \tfrac{1}{a}\right)}

Da v_max en periastro y v_min en apoastro; el cociente v_max/v_min = (1+e)/(1−e). Halley pasa de 54 km/s en perihelio a 0.9 km/s en afelio — un factor 60×.

Límites Físicos del Modelo

Límite Relativista (v→c, r→r_s)

La gravitación newtoniana es exacta solo si v ≪ c y r ≫ r_s = 2GM/c². Mercurio precesa 43"/siglo más de lo predicho por Kepler — Einstein lo explicó con relatividad general (1915). El simulador advierte si v_max > 0.1c o si el periastro está a menos de 100·r_s.

Límite del N-Cuerpos

Solo se modelan dos cuerpos puntuales. Las perturbaciones de terceros (Júpiter sobre los planetas internos), efectos cuadrupolares (J₂ terrestre afecta a satélites bajos), presión de radiación y rozamiento atmosférico requieren integradores numéricos como los de JPL Horizons. El descubrimiento de Neptuno (Le Verrier, 1846) se hizo precisamente analizando estas perturbaciones residuales sobre Urano.

Solo Órbitas Cerradas y Planares

Limitado a e ∈ [0, 0.99]. Trayectorias parabólicas (e=1) e hiperbólicas (e>1) — típicas de sondas en flyby o cometas no recurrentes — requieren la ecuación hiperbólica M = e·senh(F) − F. Tampoco se modelan inclinación (i) ni nodo ascendente (Ω); las órbitas se proyectan en el plano del simulador.

Casos Límite (e)

e = 0: Círculo. v constante, r = a, dA/dt trivialmente uniforme.

e → 1: Elipse degenerada. Cociente v_max/v_min crece sin cota; Halley con e=0.967 alcanza ~60×.

Validación Numérica

La 2ª ley exige dA/dt = h/2 = const en todo instante. El solver mantiene esto en ~10⁻¹⁰ relativo. Presets calibrados con efemérides JPL Horizons (DE441/DE440).

Constante	Valor	Fuente
G	6.67430 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻²	CODATA 2022
M_☉	1.989 × 10³⁰ kg	IAU 2015 B3
1 UA (exacto)	149 597 870 700 m	IAU 2012 B2
M_⊕	5.9722 × 10²⁴ kg	NASA NSSDCA

Referencias Académicas

[1] Kepler, J. (1609). Astronomia Nova; (1619). Harmonices Mundi, Liber V. (Enunciado original de las tres leyes).
[2] Newton, I. (1687). Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Libro I, Prop. XI–XV. (Derivación a partir de F ∝ 1/r²).
[3] Vallado, D. A. (2013). Fundamentals of Astrodynamics and Applications (4th ed.). Microcosm Press. §2.2 (ecuación de Kepler) y §2.7 (vis-viva).
[4] Danby, J. M. A. (1992). Fundamentals of Celestial Mechanics (2nd ed.). Willmann-Bell. §6.6 (iniciador cuártico para Newton-Raphson).
[5] Murray, C. D. & Dermott, S. F. (1999). Solar System Dynamics. Cambridge University Press.
[6] JPL Horizons System. ssd.jpl.nasa.gov/horizons. (Efemérides DE441/DE440 usadas en presets).

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