Explora dinámica discreta: recurrencias lineales, Fibonacci modular y mapa logístico
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Tiende a φ ≈ 1.618034
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Las raíces características determinan si la secuencia converge, oscila o crece sin límite.
Cada término es una combinación lineal de los dos anteriores. Los coeficientes p y q controlan completamente el comportamiento a largo plazo — no solo la velocidad de crecimiento, sino si ese crecimiento ocurre. La sucesión de Fibonacci (p = 1, q = 1, a₀ = 0, a₁ = 1) es el ejemplo canónico: cada término es la suma de los dos anteriores, y el cociente entre términos consecutivos converge al número áureo φ ≈ 1.618.
Sucesión de Fibonacci — OEIS A000045Al sustituir aₙ = rⁿ en la recurrencia se obtiene r² − pr − q = 0. Las dos raíces r₁ y r₂ son los bloques de la solución general: aₙ = A·r₁ⁿ + B·r₂ⁿ, donde A y B quedan determinados por las condiciones iniciales a₀ y a₁. Si las raíces son complejas (discriminante < 0), la secuencia oscila con una envolvente giratoria. Lo relevante para el crecimiento es el módulo: |r| > 1 implica que la oscilación crece, |r| < 1 implica que decae.
Recurrencias lineales — Brilliant (en inglés)El dato decisivo es max(|r₁|, |r₂|). Si supera 1, el término dominante rⁿ crece exponencialmente y la secuencia diverge — el aviso de desbordamiento indica que esto ocurrió antes de alcanzar n = N. Si es exactamente 1 (estabilidad marginal), la secuencia ni crece ni decae y puede oscilar indefinidamente. Si es menor que 1, ambas componentes decaen y la secuencia tiende a cero. El gráfico de Razón de Convergencia muestra el cociente aₙ/aₙ₋₁ estabilizándose en la raíz dominante — verlo asentarse sobre la línea punteada es una prueba visual directa del teorema.
Ecuaciones en diferencias y estabilidad — MIT OCW 18.03