Qué significa dividir dos polinomios
Para polinomios con coeficientes racionales y un divisor D distinto de cero, existen un único cociente Q y un único resto R que cumplen la identidad de la división. El resto es nulo o tiene grado menor que el de D. Si R = 0, la división es exacta y D es factor de P.
P(x)=D(x)Q(x)+R(x),R=0 o degR<degD OpenStax, College Algebra 2e, §5.4 desarrolla ambos procedimientos. La identidad vale para todo x; escribirla como P/D = Q + R/D requiere además D(x) ≠ 0.
Ordenar sin perder coeficientes
En 4 + 2x² − x + 3x², los términos de grado 2 suman 5x², y la forma ordenada es 5x² − x + 4. En x³ − 2x² + 4 falta el término de grado 1, pero su lugar se conserva: los coeficientes son 1, −2, 0, 4. Omitir ese cero en Ruffini desplazaría las columnas y cambiaría el polinomio.
Las cancelaciones también cuentan: x² − x² + 0x es el polinomio nulo, que no tiene grado definido. La coma decimal entre dígitos se lee como punto decimal; 0,1 representa exactamente 1/10.
Por qué funciona la división tradicional
Dividir el término principal del resto parcial entre el de D da un término de Q. Multiplicar D por ese término y restar anula el término principal, así que el grado baja en cada resta y el proceso termina cuando el resto tiene grado menor que D. El divisor se usa tal como está, aunque su coeficiente principal no sea 1:
x2+1=(2x−4)(2x+1)+5 Dividir el mismo P entre x−2 da Q=x+2 y el mismo resto 5: duplicar el divisor divide el cociente por dos y conserva el resto. Para la unicidad, si existieran dos pares, D(Q₁−Q₂)=R₂−R₁. Si Q₁−Q₂ no fuera cero, el lado izquierdo tendría grado al menos el de D, mientras el derecho sería nulo o de grado menor: una contradicción.
Ruffini: los mismos coeficientes con menos escritura
Para D=x−a, la regla de Ruffini (o división sintética) baja el primer coeficiente. Después multiplica el último resultado por a y lo suma al coeficiente siguiente. La última suma es R; las anteriores son los coeficientes de Q, que tiene un grado menos que P cuando P tiene grado al menos 1.
bn=cn,bj=cj+abj+1(j=n−1,…,0) Si D=x+1, entonces a=−1. En x³−2x²+4 dividido entre x−2, Ruffini obtiene 1, 0, 0, 4: Q=x² y R=4. La división tradicional resuelve el mismo caso con una sola resta, porque los coeficientes cero de Q no generan pasos; por eso los dos métodos pueden tener distinta cantidad de pasos. El apunte de RIT sobre división de polinomios presenta ambos esquemas.
Con un divisor ax + b también se puede usar Ruffini: se divide entre x − (−b/a) y después se divide el cociente entre a; el resto no cambia. Esta calculadora resuelve esos divisores con la división tradicional.
Teoremas del resto y del factor
Con D=x−a, el resto es constante. Al sustituir x=a, el producto (a−a)Q(a) se anula y queda P(a)=R. Por lo tanto, x−a es factor de P si y sólo si P(a)=0.
P(a)=R,(x−a)∣P(x)⟺P(a)=0 Por ejemplo, x³−6x²+11x−6 dividido entre x−2 da Q=x²−4x+3 y R=0. La evaluación directa 8−24+22−6=0 confirma el resto. La calculadora comprueba además todos los coeficientes de DQ+R, no sólo el valor en a.
Por eso Ruffini se usa para factorizar: se prueban como a los divisores del término independiente (o, si el coeficiente principal no es 1, las fracciones que forman con los divisores de ese coeficiente) y, con cada raíz encontrada, se vuelve a dividir el cociente. Aquí cada cálculo es una división; para seguir, escribe el cociente como nuevo dividendo.
Constantes, nulos y grados menores
Si P=2x+1 y D=x²+1, la respuesta es Q=0 y R=2x+1: el dividendo ya tiene grado menor que el divisor. Si D=2, se divide cada coeficiente entre 2 y R=0. Dos constantes también se dividen: (1/3) entre (2/5) da 5/6, con resto cero.
Si P=0 y D≠0, Q=R=0: todo divisor no nulo divide al polinomio nulo, y cualquier número es raíz suya. Si D se reduce a cero, como x−x, la división no está definida. En Ruffini, un dividendo constante o nulo ocupa una única columna: Q=0 y R=P.
Fracciones exactas y lecturas decimales
Los coeficientes son números racionales: enteros, fracciones y decimales finitos. Las fracciones se mantienen reducidas y con denominador positivo. Por ejemplo, 0.1x²+0.2x+0.3 dividido entre x+1 da Q=(1/10)x+1/10 y R=1/5, sin aproximar 0.1.
Cuando el cociente o el resto tienen fracciones, puedes ver su lectura decimal con 4 o 10 cifras significativas, redondeando al par. El signo ≈ indica que el valor se redondeó: −1/8 = −0.1250 es exacto, pero 1/3 ≈ 0.3333. Al copiar el resultado se conservan las fracciones completas.
Alcance de esta herramienta
Se admiten sumas de términos en x hasta grado 12. Los paréntesis interiores sólo agrupan coeficientes, así que los productos de polinomios deben desarrollarse antes.
Encontrar todos los factores de una vez, calcular el MCD de polinomios o trabajar con varias variables o coeficientes irracionales son problemas distintos. Las notas de Álgebra de Paul Dawkins, Lamar University ofrecen más ejemplos de división. El algoritmo de Euclides extendido aplica divisiones sucesivas a números enteros, y el analizador de funciones permite graficar y estudiar la función asociada.