Transformaciones de Lorentz y Diagrama de Minkowski
Transforma eventos entre marcos inerciales, verifica el intervalo espacio-temporal y visualiza causalidad, simultaneidad y conos de luz
Configuración
Ejemplos
Modo
Dos eventos habilita intervalo, causalidad y orden temporal.
Marco de entrada
β siempre es la velocidad firmada de S′ respecto de S. Al cambiar el marco, los números actuales pasan a interpretarse allí; no se transforman automáticamente.
β
Fracción firmada de c; los orígenes coinciden en x = x′ = 0, t = t′ = 0
0.6
c
-0.950.95
Unidades
Cambiar de unidad reexpresa el mismo evento físico; nunca lo reinterpreta.
Evento A — coordenadas en S
años luz
años
ct = 0.4 ly
β = 0.6 · γ = 1.25
Marco SMarco S′Cono de luz (±45°)paso de rejilla: 0.1 ly
Diagrama espacio-tiempo con β = 0.6. Eventos: A — S: (0.3, 0.4) ly · S′: (0.075, 0.275) ly
Resultados
Factor de Lorentz
1.25
adimensional
Evento A en S′
x′0.075años luz
t′0.275años
ct′0.275años luz
Comparación galileana
x′_G 0.06 años luz
t′_G 0.4 años
|x_L − x_G| 0.015 años luz
|t_L − t_G| 0.125 años
La transformación de Galileo (x′ = x − βct, t′ = t) converge a la de Lorentz cuando |β| se hace pequeño.
Un evento es un punto del espacio-tiempo: algo que ocurre en una posición y un instante determinados. En una dimensión espacial se representa mediante las coordenadas (x, t). La sucesión de eventos ocupados por un cuerpo forma su línea de universo.
Un marco inercial asigna coordenadas con reglas y relojes en reposo relativo, sincronizados dentro de ese marco. En la configuración estándar, S′ se desplaza con velocidad constante v = βc sobre el eje +x de S, y ambos orígenes coinciden cuando t = t′ = 0.
β=cv,−1<β<1
La transformación es pasiva: describe un mismo evento con dos sistemas de coordenadas. No representa una fuerza, una aceleración ni un cambio físico del evento.
2. Transformación de Lorentz
El principio de relatividad establece que las leyes de la física tienen la misma forma en todos los marcos inerciales. La invariancia de la velocidad de la luz impide usar la transformación de Galileo cuando las velocidades son comparables con c. Para la configuración estándar, las coordenadas se relacionan mediante:
x′=γ(x−βct),ct′=γ(ct−βx)
γ=1−β21=(1−β)(1+β)1
El factor de Lorentz γ vale como mínimo 1 y crece sin límite cuando |β| se aproxima a 1. En el régimen |β| ≪ 1, γ ≈ 1 y se recupera la aproximación galileana. En forma matricial, el boost directo es:
(ct′x′)=(γ−γβ−γβγ)(ctx)
La transformación inversa se obtiene sustituyendo β por −β. Los boosts sucesivos forman una transformación hiperbólica. Con la rapidez φ = artanh(β), se cumple β = tanh(φ) y γ = cosh(φ); por eso las rapideces se suman aunque las velocidades no lo hagan de forma ordinaria.
3. Intervalo y clasificación causal
Para dos eventos A y B, el intervalo espacio-temporal se define —con signatura (+, −)— como:
Δs2=(cΔt)2−(Δx)2=(cΔt′)2−(Δx′)2
Su valor es invariante: todos los marcos inerciales coinciden en el signo de Δs², aunque asignen separaciones espaciales y temporales diferentes.
Temporal (Δs² > 0): existe un marco en el que ambos eventos ocurren en el mismo lugar. El tiempo propio es Δτ = √(Δs²)/c. Si B está en el futuro de A, una señal con velocidad no mayor que c puede conectarlos.
Lumínico (Δs² = 0): corresponde a la trayectoria de una señal luminosa en el vacío. El tiempo propio entre los eventos es cero y no existe un marco inercial de reposo para la luz.
Espacial (Δs² < 0): existe un marco en el que los eventos son simultáneos. La distancia propia es D = √(−Δs²). Ninguna señal causal con velocidad ≤ c puede unirlos.
4. Conos de luz, simultaneidad y orden temporal
Las rectas x = ±ct forman el cono de luz de un evento. Su interior contiene los eventos temporalmente relacionados; la frontera contiene los eventos lumínicos, y el exterior corresponde a separaciones espaciales.
Cada marco inercial define su propia familia de eventos simultáneos. En un diagrama (x, ct), las líneas ct′ = constante son paralelas al eje x′. Esta inclinación expresa la relatividad de la simultaneidad, no un retraso de los relojes ni un efecto de propagación visual.
El orden causal de eventos temporales o lumínicos se conserva. Solo dos eventos con separación espacial pueden aparecer en distinto orden temporal según el marco, precisamente porque no pueden influirse entre sí.
5. Cómo leer un diagrama de Minkowski
El eje horizontal representa x y el vertical ct. Al usar la misma unidad en ambos ejes, los rayos de luz se dibujan a 45°.
El eje ct′ es la línea de universo del origen de S′: x = βct. El eje x′ reúne los eventos con t′ = 0: ct = βx.
Las líneas paralelas a x′ indican ct′ constante; las paralelas a ct′ indican x′ constante. Sus cruces permiten leer las coordenadas primas de un evento.
La calibración de los ejes primados es hiperbólica. Las longitudes y ángulos euclídeos de la pantalla no deben interpretarse como distancias o tiempos físicos.
El cono dibujado desde el origen clasifica eventos respecto de ese origen. La relación entre A y B depende del intervalo B − A, equivalente a trasladar el cono para que su vértice esté en A.
Un segmento entre dos eventos solo representa una trayectoria física si ambos pertenecen a la línea de universo del mismo objeto.
6. Consecuencias cinemáticas
La dilatación temporal y la contracción de longitud surgen al comparar pares de eventos definidos de manera precisa. La dilatación temporal compara, para dos eventos de un mismo reloj, el tiempo propio con el intervalo temporal coordinado de un marco en el que ese reloj se mueve. La contracción de longitud compara las posiciones simultáneas de los extremos de un cuerpo en el marco que mide.
Estas relaciones no describen una deformación mecánica producida por el movimiento. Expresan cómo distintos marcos inerciales organizan las separaciones espaciales y temporales conservando el mismo intervalo.
7. Alcance y convenciones
El modelo corresponde a relatividad especial en un espacio-tiempo plano con una dimensión espacial. Considera marcos inerciales, velocidad relativa constante, orígenes coincidentes y |β| < 1. No incluye aceleraciones, gravedad ni extensiones a tres dimensiones espaciales.
El signo de β fija la dirección del movimiento relativo. Las coordenadas pueden ser positivas o negativas, y los valores primados y no primados siempre identifican el mismo evento. Las fórmulas emplean ct para expresar tiempo y posición en unidades compatibles.